2026-09-09 计算物理：Runge 现象与 Hermite 插值

求差商算法

先求所有一阶差商（用已知数值）：

Copy LaTeX$$f[x_0,x_1],\dots ,f[x_{n-1},x_n].$$

再求所有二阶差商……（此时 $f(x_1),f(x_2),\dots$ 不再需要，可将结果存入替换）。

差商表：

节点	函数值	一阶差商	二阶差商	三阶差商
$x_0$	$y_0=f(x_0)$	$f[x_0,x_1]$	$f[x_0,x_1,x_2]$	$f[x_0,x_1,x_2,x_3]$
$x_1$	$y_1=f(x_1)$	$f[x_1,x_2]$	$f[x_1,x_2,x_3]$
$x_2$	$y_2=f(x_2)$	$f[x_2,x_3]$
$x_3$	$y_3=f(x_3)$

存入一维数组。或用二维数组，取相应元素。

多项式插值。

Q：数据点越多越好吗？

Runge 现象（过拟合）：

Copy LaTeX$$y=\frac{1}{1+25x^2}.$$

当 $n=9$ 时，插值函数在区间边缘发生明显振荡。

解决：

1. 分段，低次插值。
2. Hermite 插值。
3. 三次样条插值。

Hermite 插值

更高要求：除函数值相等，还要求若干阶导数也相等。

（如飞机机翼设计。）

Copy LaTeX$$p(x)\approx f(x)⟺\{\begin{array}{l}p(x_i)=f(x_i),\\ p^{\prime }(x_i)=f^{\prime }(x_i),\\ p^{″}(x_i)=f^{″}(x_i),\\ ⋮\end{array}$$

重节点差商

差商连续性定理：$f[x_0,\dots ,x_n]$ 是其变量的连续函数。

Copy LaTeX$$f[x_0,x_0]=\underset{x_1\to x_0}{lim}f[x_0,x_1]=f^{\prime }(x_0).$$

Copy LaTeX$$f[x_0,x_0,x_0]=\underset{\begin{array}{c}{x}_1\to x_0\\ x_2\to x_0\end{array}}{lim}f[x_0,x_1,x_2]=\frac{1}{2!}{f}^{″}(x_0).$$

一般地，

Copy LaTeX$$f[\underset{n+1\text{ 个}}{\underbrace{x_0,\dots ,x_0}}]=\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0).$$

Taylor 插值

Newton 插值中令 $x_i\to x_0$ ，则

Copy LaTeX$$N_n(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n.$$

Taylor 插值是一个节点上的 $n$ 次 Hermite 插值。

Hermite 插值

$m+1$ 个条件构造一个 $m$ 次 Hermite 多项式。

1. 三点三次：$x_0,x_1,x_2$ ，共 4 个条件。

Copy LaTeX$$p(x_i)=f(x_i)(i=0,1,2),p^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_1).$$

2. 两点三次：$x_0,x_1$ ，共 4 个条件。

Copy LaTeX$$p(x_i)=f(x_i),p^{\prime }(x_i)=f^{\prime }(x_i),i=0,1.$$

Why 三次？避免 Runge 现象。

[G: 更多点怎么分？]

G 补充

将节点按 $x_0<x_1<\cdots <x_n$ 排序，再把整个区间拆成

Copy LaTeX$$[x_0,x_1],[x_1,x_2],\dots ,[x_{n-1},x_n].$$

在每个小区间上只构造低次多项式：只有函数值时可作分段线性插值；同时知道端点函数值和一阶导数时，可在每个 $[x_i,x_{i+1}]$ 上作两点三次 Hermite 插值。各段共享端点函数值，因此函数连续；若共享同一端点导数，则一阶导数也连续。

三点三次

设

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}p(x)& =f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)\\ & +f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)\\ & +A(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2).\end{array}$$

将 $p^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_1)$ 代入，得到 $A$ 。

余项公式：因为 $x_0,x_1,x_2$ 是零点，$x_1$ 相当于二重零点，

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}R(x)& =K(x)(x-x_0)(x-x_1{)}^2(x-x_2)\\ & =f(x)-p(x)\\ & =\frac{f^{(4)}({\xi }_x)}{4!}(x-x_0)(x-x_1{)}^2(x-x_2).\end{array}$$

例

Copy LaTeX$$f(x)=x^{3/2}.$$

Copy LaTeX$$f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{8},f(1)=1,f\left(\frac{9}{4}\right)=\frac{27}{8},f^{\prime }(1)=\frac{3}{2}.$$

给出三点三次 Hermite 多项式。

1. 作差商表。

Copy LaTeX$$f[x_0,x_1],f[x_1,x_2].$$

于是

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}p(x)& =\frac{1}{8}+\frac{7}{6}(x-\frac{1}{4})+\frac{11}{30}(x-\frac{1}{4})(x-1)\\ & +A(x-\frac{1}{4})(x-1)(x-\frac{9}{4}).\end{array}$$

将 $p^{\prime }(1)=f^{\prime }(1)$ 代入，得到 $A$ 。

Copy LaTeX$$R(x)=\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}(x-\frac{1}{4})(x-1{)}^2(x-\frac{9}{4}),\xi \in (\frac{1}{4},\frac{9}{4}).$$

[? 推测：求 $A$ ，即可得到插值多项式；余项用于估计。]

两点三次

节点为 $x_0,x_1$ ，满足

Copy LaTeX$$p(x_i)=f(x_i),p^{\prime }(x_i)=f^{\prime }(x_i).$$

类似 Lagrange 插值，设

Copy LaTeX$$p(x)=H_3(x)=a_0{\alpha }_0(x)+a_1{\alpha }_1(x)+b_0{\beta }_0(x)+b_1{\beta }_1(x),$$

均为三次多项式。

满足

Copy LaTeX$${\alpha }_j(x_i)={\delta }_{ij},{\alpha }_j^{\prime }(x_i)=0,$$

Copy LaTeX$${\beta }_j(x_i)=0,{\beta }_j^{\prime }(x_i)={\delta }_{ij}.$$

确定系数

Copy LaTeX$$H_3(x)=y_0{\alpha }_0(x)+y_1{\alpha }_1(x)+m_0{\beta }_0(x)+m_1{\beta }_1(x).$$

$\alpha$ 用于函数值插值，$\beta$ 用于导数插值。

Copy LaTeX$${\alpha }_0(x_1)=0,{\alpha }_0^{\prime }(x_1)=0,$$

故 $x_1$ 为 ${\alpha }_0$ 的二重零点。

Copy LaTeX$${\alpha }_0(x)=(ax+b){\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)}^2.$$

再由

Copy LaTeX$${\alpha }_0(x_0)=1,{\alpha }_0^{\prime }(x_0)=0,$$

求出 $a,b$ 。类似得到 ${\beta }_0,{\beta }_1$ 。

[G: 补全 $\beta ,m_0$ 求法]

G 补充

由基函数条件可直接构造

Copy LaTeX$${\beta }_0(x)=(x-x_0){\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)}^2,{\beta }_1(x)=(x-x_1){\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)}^2.$$

它们满足 ${\beta }_j(x_i)=0$ 和 ${\beta }_j^{\prime }(x_i)={\delta }_{ij}$ 。因此乘在 ${\beta }_0$ 前的系数就是端点斜率

Copy LaTeX$$m_0=f^{\prime }(x_0),$$

同理 $m_1=f^{\prime }(x_1)$ 。另外，$a_0=y_0=f(x_0)$ 、$a_1=y_1=f(x_1)$ 。

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}{H}_3(x)& =y_0(1+2\frac{x-x_0}{x_1-x_0}){\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)}^2\\ & +y_1(1+2\frac{x-x_1}{x_0-x_1}){\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)}^2\\ & +m_0(x-x_0){\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)}^2\\ & +m_1(x-x_1){\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)}^2.\end{array}$$

Copy LaTeX$$R_3(x)=\frac{f^{(4)}({\xi }_x)}{4!}(x-x_0{)}^2(x-x_1{)}^2,{\xi }_x\in (x_0,x_1).$$

函数插值

问题：$n\to \mathrm{\infty }$ 时，$L_n(x)$ 不收敛。

分段线性插值。

分段 Hermite 插值（两点三次）$\to$ 需要额外信息（导数）。

如

Copy LaTeX$$\frac{1}{1+x^2},$$

用 polynomial 近似（近似后便于求导）。

基本思想：用分段低次多项式替代单个高次多项式。