2026-09-10 量子力学：Stern–Gerlach 实验与自旋态

量子

Chap 1. 基本概念

1.1 S-G 实验

双态系统（最重要、最少经典）

银原子和单电子使 Ag 带有磁矩。

↑ 一个内禀角动量。

比例因子：

Copy LaTeX$$\frac{e}{2m_{e}c}.$$

磁矢量与磁场相互作用能：

Copy LaTeX$$-\overrightarrow{\mu }\cdot \overrightarrow{B}.$$

[G: 推导]

G 补充

磁矩在磁场中受到力矩

Copy LaTeX$$\overrightarrow{\tau }=\overrightarrow{\mu }\times \overrightarrow{B}.$$

令 $\theta$ 为 $\overrightarrow{\mu }$ 与 $\overrightarrow{B}$ 的夹角，外力克服磁力矩缓慢转动磁矩所做的功满足

Copy LaTeX$$dU=\mu B\sin \theta d\theta .$$

积分得 $U=-\mu B\cos \theta +C$ 。取与方向无关的常数 $C=0$ ，即

Copy LaTeX$$U=-\overrightarrow{\mu }\cdot \overrightarrow{B}.$$

故原子受力沿 $z$ 分量：

Copy LaTeX$$F_z=-\frac{\partial U}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}(\overrightarrow{\mu }\cdot \overrightarrow{B})={\mu }_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\text{（忽略 }\overrightarrow{B}\text{ 在其他方向上的分量）}.$$

S-G 仪器可测出 ${\mu }_z$ 分量的方向。

预期 ${\mu }_z$ 可取 $[-{\mu }_z,{\mu }_z]$ 之间任意值（也即原子均匀分散）。

但是并非如此！实验上有两个斑点。

∴ 空间量子化。

$\overrightarrow{\mu }$ （或 $\overrightarrow{S}$ 乘一个因子），观察到其 $z$ 分量只有两个可能值：

Copy LaTeX$$S_z^{+},qquad{S}_z^{-};$$

且为某单位的倍数：

Copy LaTeX$$\frac{\hslash }{2}.$$

是自旋角动量量子化。

S-G 实验

分析：$S_z^{+}$ 束流中有 $50\mathrm{\%}$ 为 $S_x^{-}$ ，$50\mathrm{\%}$ 为 $S_x^{+}$ 。

连续两次沿 $z$ 方向测量，$S_z^{+}$ 的比例为 $100\mathrm{\%}$ 。

先沿 $z$ 测量、再沿 $x$ 测量、最后重新沿 $z$ 测量，所得 $S_z^{+}$ 与 $S_z^{-}$ 各为 $50\mathrm{\%}$ 。

因此例可阐明：量子力学中不同的本征态不同时确定。

$S_x$ 与 $S_z$ ，或说，SG $\hat{x}$ 挑出 $S_x$ 束流，从而破坏了我们先得到的 $S_z$ 信息。

……

与光的极化类比：

设沿 $z$ 轴传播的光波：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{E}=E_0\hat{x}\cos (kz-\omega t)$$

为 $x$ 方向；

Copy LaTeX$$\overrightarrow{E}=E_0\hat{y}\cos (kz-\omega t)$$

为 $y$ 极化光。

→ 通过偏振器获得。

• $100\mathrm{\%}$ 的 $x$ 偏振光通过 $y$ 偏振器：$0\mathrm{\%}$ 出射。
• $100\mathrm{\%}$ 的 $x$ 偏振光先通过 $x^{\prime }$ 偏振器，再通过 $y$ 偏振器：有光射出。

道理上讲，经过 $x$ 后，$y$ 极化应为 0。但是有 $x^{\prime }$ 挡板。

$x$ 极化光过 $x^{\prime }$ 极化光后，光束以前是否为 $x$ 极化光就不再重要了。

$x^{\prime }$ 破坏了以前的极化信息。

类比：

Copy LaTeX$$S_z^{\pm }\text{ 原子}⟷x,y\text{ 极化光},$$

Copy LaTeX$$S_x^{\pm }\text{ 原子}⟷x^{\prime },y^{\prime }\text{ 极化光}.$$

……

经典电动力学的描述——对 45° 线偏振光（$x^{\prime },y^{\prime }$ ）：

Copy LaTeX$$E_0{\hat{x}}^{\prime }\cos (kz-\omega t)=E_0[\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{x}\cos (kz-\omega t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{y}\cos (kz-\omega t)].$$

$y^{\prime }$ 也类似。

$x^{\prime }$ 束是 $x$ 束、$y$ 束的线性组合；

$y$ 束是 $x^{\prime }$ 、$y^{\prime }$ 束的线性组合；

$y$ 束是 $y$ 束和 $x$ 束（0）的组合。

类比，可描述银原子的自旋角动量（选用类二维矢量空间中的某类矢量）。

设矢量 $|S_x;+⟩$ 表示 $S_x^{+}$ 自旋态，$|S_x;-⟩$ 同理。

而

Copy LaTeX$$|S_x;+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|S_z;+⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|S_z;-⟩,$$

Copy LaTeX$$|S_x;-⟩=-\frac{1}{\sqrt{2}}|S_z;+⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|S_z;-⟩.$$

（由前面的类比可得。）

按此假设，从第二台（SG $\hat{x}$ ）装置出来的为 $S_z^{+}$ 与 $S_z^{-}$ 的叠加。

自然考虑表示 $S_y^{\pm }$ ？

$S_y^{\pm }$ 的两个矢量也应为 $S_z^{\pm }$ 两个矢量的组合。

但因为 $|S_x;\pm ⟩$ 已经用过了，要类似：

圆偏光的表示。

右旋光：

Copy LaTeX$$\tilde{\overrightarrow{E}}=E_0[\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{x}{e}^{i(kz-\omega t)}+\frac{i}{\sqrt{2}}\hat{y}{e}^{i(kz-\omega t)}].$$

Copy LaTeX$$\overrightarrow{E}=\mathrm{Re}(\tilde{\overrightarrow{E}}).$$

右旋光 $⟷S_y^{+}$ 原子；

左旋光 $⟷S_y^{-}$ 原子。

可把 $S_y^{\pm }$ 原子纳入矢量形式：

Copy LaTeX$$|S_y;\pm ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|S_z;+⟩\pm \frac{i}{\sqrt{2}}|S_z;-⟩.$$

复矢量空间！

……