Lab Reports

电压精确测量预习报告

一、实验原理

1. 补偿法

用电压表直接测电池电动势时，电压表接入后有电流流过电池内阻，所测为路端电压。补偿法调节已知的同类电学量，使它与待测量的作用相抵消。图中调节 $E_0$ ，直至检流计 $G$ 指零；此时测量回路无电流，$E_x=E_0$ ，待测电池没有因测量而产生内阻压降。

图1　补偿法原理

2. 电位差计的校准与电动势测量

电位差计的工作回路由工作电源 $E_0$ 、滑线变阻器 $R_P$ 及电阻箱 $R_1$ 、$R_2$ 、$R_N$ 构成；标准电池 $E_N$ 与检流计组成校准回路，待测电池 $E_x$ 与检流计组成测量回路。两回路分别平衡时，检流计电流为零，工作回路电流 $I_0$ 满足

Copy LaTeX$$I_0{R}_N=E_N,I_0{R}_2=E_x,E_x=E_N\frac{R_2}{R_N}.$$

图2　电位差计的工作、校准和测量回路

标准电池的电动势随温度 $T$ 修正：

Copy LaTeX$$E_N(T)=E_{20}-4.06\times {10}^{-5}(T-20),E_{20}=1.01860\mathrm{V}.$$

先设 $R_1+R_2\approx 1700\mathrm{\Omega }$ ，再按 $R_N=1000E_N$ 设定 $R_N$ 的欧姆数值，其中 $E_N$ 以伏为单位。接通校准回路，调节 $R_P$ 至检流计指零，得到 $I_0=E_N/R_N=1\mathrm{mA}$ 。随后保持 $R_P$ 、$R_N$ 和 $R_1+R_2$ 不变，反向调节 $R_1$ 与 $R_2$ ，使测量回路也达到平衡。此时工作回路的总电阻未变，故仍有 $I_0=1\mathrm{mA}$ ，待测电动势为 $E_x=I_0{R}_2$ 。若工作电流改变，须重新校准后再测量。

3. 灵敏度

测量回路平衡时，改变 $R_2$ ，使检流计偏转 $\mathrm{\Delta }n$ 格。电位差计灵敏度定义为

Copy LaTeX$$S=\frac{\mathrm{\Delta }n}{\mathrm{\Delta }E},\mathrm{\Delta }E=I_0\mathrm{\Delta }{R}_2.$$

本实验按 $\mathrm{\Delta }n=0.4\times \text{偏转小格数}$ 换算偏转格数。灵敏度越大，同一电压变化引起的偏转越明显，越容易判断平衡位置。

4. 电池内阻与毫安表校准

先由开路平衡位置测出干电池电动势 $E_x$ 。再让电池向标准电阻 $R_S$ 供电，用电位差计测 $R_S$ 的 $PP$ 端电压 $V=I_0{R}_2^{\prime }$ 。电池放电电流为 $V/R_S$ ，内阻上的压降为 $E_x-V$ ，因此

Copy LaTeX$$r=\frac{E_x-V}{V}{R}_S.$$

$R_S$ 的 $CC$ 端接通电流，$PP$ 端用于测压。选作的毫安表校准同样测量标准电阻两端电压；当待校表读数为 $I_{\mathrm{读}}$ 、电位差计平衡电阻为 $R_2^{″}$ 时，实际电流为

Copy LaTeX$$I_{\mathrm{测}}=\frac{I_0{R}_2^{″}}{R_S}.$$

在至少三个电流点比较 $I_{\mathrm{读}}$ 与 $I_{\mathrm{测}}$ ，取最大示值差与毫安表量程之比，可确定其准确度等级。

二、数据记录

1. 工作电流校准

室温 $T$ /℃	标准电池电动势 $E_N$ /V	$R_N$ /Ω	$R_1+R_2$ /Ω	检流计平衡情况

2. 干电池电动势与内阻（必做）

| 开路平衡时 $R_2$ /Ω | $E_x$ /V | 标准电阻 $R_S$ /Ω | 接入 $R_S$ 后平衡时 $R_2^{\prime }$ /Ω | 端电压 $V$ /V | 内阻 $r$ /Ω | |---:|---:|---:|---:|---:| | | | | | | |

3. 电位差计灵敏度（必做）

平衡时 $R_2$ /Ω	改变后 $R_2$ /Ω	$\mathrm{\Delta }{R}_2$ /Ω	检流计偏转小格数	$\mathrm{\Delta }n$ /格	$S$ /格/V

4. 毫安表校准（选做，至少三组）

待校毫安表量程：________ mA。

组次	毫安表读数 $I_{\mathrm{读}}$ /mA	标准电阻 $R_S$ /Ω	平衡时 $R_2^{″}$ /Ω	实际电流 $I_{\mathrm{测}}$ /mA
1
2
3

三、预习思考题解答

1. 为什么保持 $R_P$ 和 $R_1+R_2$ 不变？改变后怎么办？

校准后，$R_P$ 与 $R_1+R_2$ 决定工作回路的电阻和电流。改变其中之一会使 $I_0$ 偏离校准值，原来的 $E_x=I_0{R}_2$ 不再适用。应重新接通校准回路，调节 $R_P$ 使检流计指零，再测待测电压。

2. 校准时怎样调节 $R_P$ ，检流计都不动，可能是什么原因？

检流计未接入或开关未接通、检流计仍被短接保护、工作电源没有输出，都可能使指针不响应。应先检查回路通断和检流计连接，再检查工作电源及检流计状态。

3. 校准时怎样调节 $R_P$ ，检流计始终偏向同一方向，可能是什么原因？

标准电池极性或校准回路接线错误时，两电势差不能相互补偿；$R_N$ 设定不当或工作电流的可调范围不足，也会使 $I_0{R}_N$ 始终不能等于 $E_N$ 。应核对极性、$R_N$ 与工作回路的设定，再重新寻找平衡位置。

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霍尔效应实验报告

一、实验目的

1. 了解$U_H$ 与$I_S$ 、$B$ 、$I_M$ 意义及相互之间的关系。
2. 掌握霍尔效应的原理
3. 学会利用霍尔效应判断半导体导电类型及测量$B$ 、$n$ 、$\mu$ 。
4. 学会用“对称交换测量法”消除负效应产生的系统误差。

二、实验原理

1. 霍尔电压的形成

当电流垂直于磁场通过半导体薄片时，运动载流子受到洛伦兹力，在垂直于电流和磁场的方向上发生偏转，薄片两侧积累异号电荷并建立横向电场，形成霍尔电压。电场力逐渐增大，直到与洛伦兹力平衡，霍尔电压达到稳定值。

图1　霍尔效应原理

设薄片长为$l$ 、宽为$b$ 、厚为$d$ ，载流子浓度为$n$ ，漂移速率为$v$ 。按电荷量及各量的大小，有

Copy LaTeX$$qvB=q{E}_H=q\frac{U_H}{b},I_S=vdbnq.$$

消去$v$ ，得到

Copy LaTeX$$U_H=\frac{1}{nq}\frac{I_{S}B}{d}=R_H\frac{I_{S}B}{d}=K_H{I}_{S}B,K_H=\frac{R_H}{d}.$$

$I_S$ 是流过霍尔元件的工作电流；$I_M$ 是线圈的励磁电流，通过改变磁场$B$ 影响霍尔电压，二者不能混用。$R_H$ 表示材料的霍尔系数，$K_H$ 表示霍尔元件灵敏度。薄片内磁场近似均匀且垂直于片面时，固定$I_S$ 有$U_H\propto B$ ；固定$B$ 有$U_H\propto I_S$ 。

已知仪器标注的$K_H$ ，可以用

Copy LaTeX$$B=\frac{U_H}{K_H{I}_S}$$

测量磁感应强度。固定磁场，$U_H-I_S$ 直线斜率为$K_{H}B$ ，由斜率可求$K_H$ ，再由$R_H=K_{H}d$ 求霍尔系数。

2. 导电类型与载流子浓度

保持电流、磁场及电压接线方向不变，电子和空穴的导电情况产生相反的横向电势差。在本实验规定的方向下，电子向S侧积累，P侧电势较高，$U_H>0$ 、$R_H>0$ 对应N型半导体；$U_H<0$ 、$R_H<0$ 对应P型半导体。判断时必须先明确方向约定，不能脱离接线直接根据电压正负判型。

单一载流子近似下，浓度估算为

Copy LaTeX$$n=\frac{1}{|R_H|e}.$$

半导体采用修正公式

Copy LaTeX$$n=\frac{3\pi }{8}\frac{1}{|R_H|e}.$$

其中$e$ 为元电荷。金属载流子浓度约为${10}^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$ ，霍尔系数很小；半导体载流子浓度低得多，在相同电流、磁场和厚度下产生的霍尔电压较大，适于制造霍尔元件。

3. 副效应与换向测量

横向电压读数除霍尔电压外，还包含埃廷斯豪森效应电压$U_E$ 、能斯特效应电压$U_N$ 、里吉—勒迪克效应电压$U_{RL}$ 及不等位电压$U_0$ 。$U_E$ 随电流或磁场反向而变号，$U_N$ 、$U_{RL}$ 仅随磁场反向而变号，$U_0$ 仅随电流反向而变号。在电流和磁场大小保持不变时，四次读数为

电压	$I_S$	$B$	读数表达式
$U_1$	正	正	$U_H+U_E+U_N+U_{RL}+U_0$
$U_2$	负	正	$-U_H-U_E+U_N+U_{RL}-U_0$
$U_3$	负	负	$U_H+U_E-U_N-U_{RL}-U_0$
$U_4$	正	负	$-U_H-U_E-U_N-U_{RL}+U_0$

因此

Copy LaTeX$$\frac{U_1-U_2+U_3-U_4}{4}=U_H+U_E.$$

这一组合消去$U_N$ 、$U_{RL}$ 及$U_0$ ，但不能消去与霍尔电压具有相同变号规律的$U_E$ 。忽略$U_E$ 后，取

Copy LaTeX$$U_H\approx \frac{U_1-U_2+U_3-U_4}{4}.$$

4. 电导率与迁移率

磁场为零时，测量沿样品长度方向的电压$U_{\sigma }$ 。正、反工作电流下分别读取$U_{\sigma }^{+}$ 和$U_{\sigma }^{-}$ ，按带符号读数计算

Copy LaTeX$$U_{\sigma }=\frac{U_{\sigma }^{+}-U_{\sigma }^{-}}{2}.$$

相减可消去两次测量间保持不变、且不随电流换向变号的附加电压。由电阻与电阻率的关系得

Copy LaTeX$$\sigma =\frac{I_{S}l}{|U_{\sigma }|bd},\mu =|R_H|\sigma .$$

$U_{\sigma }$ 是纵向电压，不是横向霍尔电压；计算电导率时使用其绝对值。$\sigma$ 的单位为${\mathrm{\Omega }}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}$ ，$\mu$ 的单位为${\mathrm{m}}^2{\mathrm{V}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ 。

三、实验仪器

霍尔效应测试仪、带换向开关的实验架、励磁线圈、霍尔样品及连接导线。测试仪提供工作电流和励磁电流，并测量$U_H$ 及$U_{\sigma }$ 。样品为N型GaAs，厚度$d=0.2\mathrm{mm}$ ，长度$l=1.5\mathrm{mm}$ ，宽度$b=1.5\mathrm{mm}$ 。仪器标注霍尔灵敏度$K_H=180\mathrm{mV}/(\mathrm{mA}\cdot \mathrm{T})$ 。

四、实验内容

1. 接线与准备

1. 断电并将$I_S$ 、$I_M$ 调节旋钮置零，连接霍尔片、实验架和测试仪。将“I_S输出”接“I_S输入”，“I_M输出”接“I_M输入”，避免将励磁电流接入样品。
2. 接线完成后通电预热数分钟，保持两路电流为零，调节霍尔电压表至$0\mathrm{mV}$ 。
3. 将霍尔片置于线圈中心，保持磁场垂直于片面。调节位置时避免触碰薄片和电极。

2. 测量励磁电流与霍尔电压的关系

1. 保持$I_S=3.00\mathrm{mA}$ ，将$I_M$ 从$50\mathrm{mA}$ 增至$500\mathrm{mA}$ ，每次增加$50\mathrm{mA}$ 。
2. 各电流下依次改变工作电流及磁场方向，待读数稳定后记录四个电压，同时核对方向与列名。
3. 计算$U_H$ ，绘制$U_H-I_M$ 曲线并检查线性；用已知灵敏度换算线圈中心磁感应强度，建立$I_M-B$ 对应表。

3. 测量工作电流与霍尔电压的关系

1. 保持$I_M=300\mathrm{mA}$ 及样品位置不变，将$I_S$ 从$0.4\mathrm{mA}$ 增至$3.2\mathrm{mA}$ ，每次增加$0.4\mathrm{mA}$ 。
2. 各工作电流下记录四个换向电压，计算$U_H$ ，绘制$U_H-I_S$ 直线，由斜率计算$K_H$ 及$R_H$ 。

4. 测量纵向电压

1. 将两路电流调零，电压测量开关切换至$U_{\sigma }$ ，保持$I_M=0$ 。
2. 将$I_S$ 从$0.04\mathrm{mA}$ 增至$0.32\mathrm{mA}$ ，每次增加$0.04\mathrm{mA}$ ，分别记录正反向电流下的纵向电压。
3. 计算$\sigma$ 、$\mu$ 和$n$ 。结束后将两路电流旋钮置零，再关闭电源。

五、数据处理

四列横向电压依次对应$(+I_S,+B)$ 、$(-I_S,+B)$ 、$(-I_S,-B)$ 、$(+I_S,-B)$ 。各组霍尔电压按

Copy LaTeX$$U_H\approx \frac{U_1-U_2+U_3-U_4}{4}$$

计算；由仪器标注的灵敏度换算磁感应强度时，使用$B=U_H/(K_H{I}_S)$ 。第二组四列读数的方向对应关系依据课堂换向记录确定。四个横向电压读数均记录到$0.01\mathrm{mV}$ ；以末位的半个单位作为舍入区间、按均匀分布估计，单次读数的标准不确定度为$0.01/\sqrt{12}\mathrm{mV}$ 。四次组合的读数不确定度为$u(U_H)=0.01/\sqrt{48}=0.00144\mathrm{mV}$ （$U_0$ 的四次组合亦同）。这只是读数位数对应的估计，不包含换向期间的漂移和副效应。

计算采用$1\mathrm{mA}={10}^{-3}\mathrm{A}$ 、$1\mathrm{mV}={10}^{-3}\mathrm{V}$ 、$1\mathrm{mm}={10}^{-3}\mathrm{m}$ 。表中电流、电压以记录时的单位列出，磁场和物性参数采用国际单位制。直线拟合采用最小二乘法并保留截距；对于$y=ax+c$ ，

Copy LaTeX$$a=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2},c=\overline{y}-a\overline{x}.$$

拟合相关系数和决定系数按

Copy LaTeX$$r=\frac{\sum (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2\sum (y_i-\overline{y}{)}^2}},R^2=1-\frac{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{\sum (y_i-\overline{y}{)}^2}$$

计算，其中${\hat{y}}_i$ 为拟合值。均方根残差为$\mathrm{RMSE}=\sqrt{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2/N}$ ，$N$ 为数据点数。

1. 励磁电流与磁感应强度

$I_S=3.00\mathrm{mA}$ ，仪器标注$K_H=180\mathrm{mV}/(\mathrm{mA}\cdot \mathrm{T})=180\mathrm{V}/(\mathrm{A}\cdot \mathrm{T})$ 。

$I_M$ /mA	$U_1$ /mV	$U_2$ /mV	$U_3$ /mV	$U_4$ /mV	$U_H$ /mV	$B$ /T
50	1.43	-1.45	-0.21	0.23	0.6100	0.00112963
100	2.05	-2.06	0.38	-0.39	1.2200	0.00225926
150	2.67	-2.68	1.00	-1.01	1.8400	0.00340741
200	3.29	-3.30	1.62	-1.63	2.4600	0.00455556
250	3.90	-3.91	2.23	-2.24	3.0700	0.00568519
300	4.51	-4.52	2.84	-2.86	3.6825	0.00681944
350	5.13	-5.14	3.46	-3.47	4.3000	0.00796296
400	5.74	-5.76	4.08	-4.09	4.9175	0.00910648
450	6.36	-6.37	4.69	-4.70	5.5300	0.01024074
500	6.97	-6.99	5.31	-5.32	6.1475	0.01138426

由换向读数还可计算不等位电压：

Copy LaTeX$$U_0=\frac{U_1-U_2-U_3+U_4}{4}.$$

各点所得$U_0$ 约为$0.828\sim 0.835\mathrm{mV}$ 。在$50\mathrm{mA}$ 的弱磁场下，$U_0$ 大于$U_H$ ，故测得的$U_3$ 为负、$U_4$ 为正；其符号由霍尔电压与不等位电压叠加后的大小决定。

最小二乘拟合得到

Copy LaTeX$$U_H=(0.01230636\mathrm{V}/\mathrm{A})I_M-6.500\times {10}^{-6}\mathrm{V},$$

Copy LaTeX$$B=(0.02278956\mathrm{T}/\mathrm{A})I_M-1.203704\times {10}^{-5}\mathrm{T}.$$

两式的相关系数$r=0.99999904$ ，决定系数$R^2=0.99999809$ ；霍尔电压拟合的均方根残差为$2.445\times {10}^{-6}\mathrm{V}$ 。

图2　固定工作电流时的霍尔电压与励磁电流

在$50\sim 500\mathrm{mA}$ 范围内，$U_H$ 随$I_M$ 近似线性增大。分别拟合$50\sim 250\mathrm{mA}$ 和$300\sim 500\mathrm{mA}$ ，斜率均约为$0.012320\mathrm{V}/\mathrm{A}$ ，未显示明显的高电流段斜率减小。若更大电流下出现斜率改变，应结合线圈温升及磁场—电流关系检查原因；本次测量不能据此认定出现磁饱和。

2. 灵敏度与霍尔系数

$I_M=300\mathrm{mA}$ ，由上表该点确定$B=6.819444\times {10}^{-3}\mathrm{T}$ 。

$I_S$ /mA	$U_1$ /mV	$U_2$ /mV	$U_3$ /mV	$U_4$ /mV	$U_H$ /mV
0.4	0.61	-0.60	0.38	-0.39	0.4950
0.8	1.21	-1.22	0.76	-0.77	0.9900
1.2	1.81	-1.81	1.14	-1.15	1.4775
1.6	2.41	-2.40	1.52	-1.52	1.9625
2.0	3.01	-3.01	1.90	-1.90	2.4550
2.4	3.61	-3.62	2.29	-2.29	2.9525
2.8	4.21	-4.22	2.66	-2.66	3.4375
3.2	4.82	-4.83	3.05	-3.05	3.9375

拟合得到

Copy LaTeX$$U_H=(1.22775298\mathrm{V}/\mathrm{A})I_S+3.482143\times {10}^{-6}\mathrm{V}.$$

$r=0.99999453$ ，$R^2=0.99998906$ ，均方根残差为$3.721\times {10}^{-6}\mathrm{V}$ 。

图3　固定磁场时的霍尔电压与工作电流

由$U_H=K_H{I}_{S}B$ ，对$U_H$ —$I_S$ 直线有

Copy LaTeX$$K_H=\frac{1}{B}\frac{\mathrm{d}{U}_H}{\mathrm{d}{I}_S}=180.0371\mathrm{V}/(\mathrm{A}\cdot \mathrm{T}),R_H=K_{H}d=3.600742\times {10}^{-2}{\mathrm{m}}^3/\mathrm{C}.$$

$U_H$ 及$R_H$ 为正，按本实验的方向约定判断样品为N型。测得的$K_H$ 与标注值的相对差约为$0.0206\mathrm{\%}$ 。由于磁场由同一元件的标注灵敏度换算，这个差值反映两组数据的内部一致性，不能视为独立标定的绝对误差。

3. 电导率与载流子迁移率

$I_M=0$ ，$l=b=1.5\times {10}^{-3}\mathrm{m}$ ，$d=2.0\times {10}^{-4}\mathrm{m}$ 。正、反向纵向电压按

Copy LaTeX$$U_{\sigma }=\frac{U_{\sigma }^{+}-U_{\sigma }^{-}}{2},\sigma =\frac{I_{S}l}{|U_{\sigma }|bd}$$

计算；电导率取各测点结果的算术平均值。

$I_S$ /mA	$U_{\sigma }^{+}$ /mV	$U_{\sigma }^{-}$ /mV	$|U_{\sigma }|$ /mV	$\sigma$ /${\mathrm{\Omega }}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}$
0.04	-28	29	28.5	7.0175
0.08	-59	60	59.5	6.7227
0.12	-89	90	89.5	6.7039
0.16	-121	122	121.5	6.5844
0.20	-149	150	149.5	6.6890
0.24	-178	179	178.5	6.7227
0.28	-207	208	207.5	6.7470
0.32	-237	237	237.0	6.7511

八个测点的平均电导率为

Copy LaTeX$$\overline{\sigma }=\frac{1}{8}\sum _{i=1}^8{\sigma }_i=6.7423{\mathrm{\Omega }}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}.$$

八个测点的离散性给出平均值的A类标准不确定度：

Copy LaTeX$$u_A(\overline{\sigma })=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^8({\sigma }_i-\overline{\sigma }{)}^2}{8(8-1)}}=0.0435{\mathrm{\Omega }}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}.$$

工作电流记录到$0.01\mathrm{mA}$ ，纵向电压记录到$1\mathrm{mV}$ 。仪器精度未知，按末位半个单位的均匀舍入区间估计单次读数：$u(I_S)=0.01/\sqrt{12}\mathrm{mA}$ ；正、反向读数的半差为$u(U_{\sigma })=1/\sqrt{24}\mathrm{mV}$ 。按各测点读数误差相互独立传播，平均电导率的B类分量为

Copy LaTeX$$u_B(\overline{\sigma })=\frac{1}{8}\sqrt{\sum _{i=1}^8{\sigma }_i^2[{\left(\frac{u(I_S)}{I_{S,i}}\right)}^2+{\left(\frac{u(U_{\sigma })}{|U_{\sigma ,i}|}\right)}^2]}=0.0774{\mathrm{\Omega }}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}.$$

合成标准不确定度为$u(\overline{\sigma })=\sqrt{u_A^2+u_B^2}=0.0888{\mathrm{\Omega }}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}$ ，故$\overline{\sigma }=(6.74\pm 0.09){\mathrm{\Omega }}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}$ 。尺寸及电流标定的未知系统误差不包含在此数值内。

纵向电压的线性检查给出

Copy LaTeX$$|U_{\sigma }|=(742.4107\mathrm{V}/\mathrm{A})I_S+3.035714\times {10}^{-4}\mathrm{V},$$

$r=0.99986708$ ，$R^2=0.99973418$ ，均方根残差为$1.110\times {10}^{-3}\mathrm{V}$ 。这一拟合用于检查欧姆关系，电导率结果仍采用上述逐点计算的平均值。

图4　零磁场下的纵向电压与工作电流

由$\mu =|R_H|\overline{\sigma }$ 得到迁移率$\mu =0.24277{\mathrm{m}}^2{\mathrm{V}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ 。

4. 载流子浓度与结果汇总

取$e=1.602176634\times {10}^{-19}\mathrm{C}$ 。按$n=1/(|R_H|e)$ 计算，载流子浓度为$1.7334\times {10}^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$ ；采用半导体修正公式$n=3\pi /(8|R_H|e)$ 时，结果为$2.0421\times {10}^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$ 。

物理量	结果
$I_M=0.300\mathrm{A}$ 时的$B$	$6.819\times {10}^{-3}\mathrm{T}$
$K_H$	$1.800\times {10}^2\mathrm{V}/(\mathrm{A}\cdot \mathrm{T})$
$R_H$	$3.601\times {10}^{-2}{\mathrm{m}}^3/\mathrm{C}$
$\overline{\sigma }$	$(6.74\pm 0.09){\mathrm{\Omega }}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}$
$\mu$	$0.2428{\mathrm{m}}^2{\mathrm{V}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$
修正后的$n$	$2.042\times {10}^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$

六、评价与讨论

本次测量获得了10组励磁电流数据、8组工作电流数据和8组纵向电压数据。两组霍尔电压曲线的$R^2$ 均大于$0.99998$ ，验证了所测范围内的线性关系；由换向电压判断样品为N型，并求得平均电导率$(6.74\pm 0.09){\mathrm{\Omega }}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}$ 、迁移率$0.2428{\mathrm{m}}^2{\mathrm{V}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ 及修正后的载流子浓度$2.042\times {10}^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$ 。

1. 现象分析

固定工作电流时，霍尔电压随励磁电流近似线性增加；固定磁场时，霍尔电压随工作电流近似线性增加。四次换向读数的绝对值并不完全相等，不等位电压约为$0.83\mathrm{mV}$ ，相对低磁场下的霍尔电压不可忽略。弱磁场时，该附加项还能改变单次总读数的符号。

纵向电压在电流换向后反号，前7组两次读数的绝对值相差$1\mathrm{mV}$ ，末组相等，与前7组约$0.5\mathrm{mV}$ 的固定偏置相容。相减后$|U_{\sigma }|$ 与$I_S$ 近似成正比。各点电导率为$6.584\sim 7.018{\mathrm{\Omega }}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}$ ，最低电流点相对均值约高$4.08\mathrm{\%}$ ，小电压下的相对偏差更明显。

2. 误差来源分析

1. 读数与记录误差。 横向电压记录到$0.01\mathrm{mV}$ ，纵向电压记录到$1\mathrm{mV}$ 。舍入或读数波动传入四次组合及两次差值，小信号点的相对影响更大，进而影响斜率和逐点电导率；按记录末位估计的读数不确定度已计入平均电导率，但不能代替仪器的标称精度。
2. 换向期间的条件变化。 若电流大小、样品温度或附加电压在四次读数之间变化，原本应抵消的项不能完全抵消，导致$U_H$ 及拟合斜率偏移，方向取决于漂移次序。
3. 未分离的埃廷斯豪森项。 四次组合保留$U_E$ ；若其随$I_S$ 近似线性变化，会进入$U_H-I_S$ 斜率。它还可能影响用于换算磁场的第一组电压，因此最终$R_H$ 偏差取决于两组影响的相对大小，不能直接确定方向。
4. 磁场方向及样品位置。 倾斜使霍尔电压只响应法向磁场，换算的总磁场偏小；偏离线圈中心也会改变当地磁场。若两组测量间位置或倾角改变，第一组确定的$B$ 不再对应第二组，影响$K_H$ 和$R_H$ ；同一倾角保持不变时，角度因子可在两组比值中抵消。
5. 灵敏度标注值的误差。 标注$K_H$ 若偏大，第一组换算的$B$ 偏小，第二组反求的$K_H$ 、$R_H$ 及$\mu$ 偏大，$n$ 偏小。较高的线性相关系数不能消除这一共同标定误差。
6. 样品尺寸误差。 若采用的$d$ 偏大，$R_H=K_{H}d$ 偏大，而$\sigma \propto 1/d$ 及$n\propto 1/|R_H|$ 偏小；同一$d$ 在$\mu =|R_H|\sigma$ 中相消。长度与宽度之比若偏大，则$\sigma$ 及$\mu$ 均偏大。

3. 存在的问题

1. 第二组电压列与换向方向的对应关系缺少独立记录。若列对应错误，组合电压会混入不等位项，进而影响$U_H$ —$I_S$ 斜率及物性参数。
2. 50 mA和3.2 mA两点的手写霍尔电压与四次读数的计算值不一致。若将手写值用于拟合，会改变斜率、截距及后续参数。
3. 纵向电压的手写平均式与两列读数的相反符号不一致。直接相加会使主要电阻电压相互抵消，造成电导率计算错误；这里应取正、反向读数的半差。
4. 每个设定点只有一组换向记录，缺少重复测量，不能由拟合残差直接给出完整测量不确定度，也不能据$K_H$ 与标注值仅相差$0.0206\mathrm{\%}$ 宣称同等级的测量准确度。
5. 磁场换算与霍尔系数测量共用标注灵敏度，未形成独立磁场标定。两组数据的一致性良好，但绝对物性结果仍受该标注值影响。

七、实验问题解答

1. 什么是霍尔效应？

电流垂直于磁场通过导体或半导体时，载流子在洛伦兹力作用下偏转，使垂直于电流和磁场的方向产生电荷积累及横向电势差，这一现象称为霍尔效应。稳定时电场力与洛伦兹力平衡。

2. 为什么半导体是制造霍尔元件比较理想的材料？

半导体载流子浓度比金属低得多，由$U_H=I_{S}B/(ned)$ 可知，在相同工作电流、磁场和厚度下，半导体能够产生更大的霍尔电压，便于测量。

3. 实验中如何判断样品的导电类型？

先确定工作电流、磁场方向及电压表正负端，再判断霍尔电压的符号。在本实验方向约定下，$U_H>0$ 、$R_H>0$ 为N型，$U_H<0$ 、$R_H<0$ 为P型。应采用消去可消副效应后的霍尔电压，不能直接以某一次原始读数判型。

4. 为什么前两个测量需要四个电压，而计算电导率只需测两项？

前两个项目测量磁场中的横向电压，附加电压随电流和磁场的变号规律不同，需要同时改变两个方向，通过四个读数分离霍尔电压。测量电导率时磁场为零，测量的是纵向电阻电压，只需反转工作电流，两次读数相减即可消去不随电流反向变化的稳定偏置。

5. 实验中如何消除副效应的影响？

保持电流和磁场大小不变，进行四次换向测量，用$(U_1-U_2+U_3-U_4)/4$ 消去不等位电压、能斯特效应电压和里吉—勒迪克效应电压。埃廷斯豪森效应电压与霍尔电压具有相同的换向规律，不能由该组合消去，本实验将其忽略。换向过程中保持温度、位置和读数条件稳定，有助于上述抵消成立。

6. 磁场方向与霍尔元件法线不一致会有什么影响？

设夹角为$\theta$ ，起作用的是垂直片面的分量$B\cos \theta$ ，故$U_H=K_H{I}_{S}B\cos \theta$ 。若仍按垂直入射公式换算总磁场，得到的是$B\cos \theta$ ，会低估磁场大小；若使用独立已知的总磁场求$K_H$ 和$R_H$ ，二者也会低估，浓度则会高估。若标定磁场与后续测量始终使用同一倾角，相同的余弦因子可在斜率与标定磁场的比值中抵消，但所报告的磁场仍只是法向分量。

7. 霍尔效应可以用在哪些地方？

可用于测量磁感应强度、判别半导体导电类型、测量载流子浓度及迁移率。利用被测电流产生的磁场，还可制成电流传感器；利用磁场随位置变化的特征，可进行位置、转速等测量。

资料：霍尔效应教学课件（2022.10）、本次课堂笔记及实验原始记录。