2026-09-06 数理方法：复变函数与 Cauchy–Riemann 条件

数理方法

复变函数几何意义（略）

Grassmann 数：

Copy LaTeX$${\eta }_1{\eta }_2=-{\eta }_2{\eta }_1.$$

[G: Grassmann 数的 $e_i$ ，微分、积分意义和性质？]

G 补充

Grassmann 生成元满足 ${\eta }_i{\eta }_j=-{\eta }_j{\eta }_i$ ，因而 ${\eta }_i^2=0$ 。对单个生成元，微分可定义为 ${\partial }_{\eta }(a+b\eta )=b$ ；Berezin 积分约定 $\int d\eta =0$ 、$\int \eta d\eta =1$ 。

ψ 统计：四元数。

复变函数：复平面 $\to$ 复平面。非矢值函数，一个变量对应一个函数值。

区域示意：内部、边界、边界点。

• 邻域：以 $z_0$ 为圆心，任意小圆作图，圆内所有点的集合。
• 区域：由内点组成，有连通性；任意两点可由折线连接。

环域：

Copy LaTeX$$|z-z_0|<r,a<|z-z_0|<b.$$

实轴是连通的，若挖去一点则不是连通的。单连通：无洞；多连通：有洞，闭合线不总能缩成一点。

复变函数

Copy LaTeX$$e^z=e^{x+iy}=e^x{e}^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y),$$

$x$ 模，$y$ 辐角。

Copy LaTeX$$\sin z=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}),\cos z=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}).$$

Copy LaTeX$$\ln z=\ln (|z|e^{i\mathrm{Arg}z})=\ln |z|+i\mathrm{Arg}z.$$

$\mathrm{Arg}z$ 有无穷个，故 $\ln z$ 是多值函数。

Copy LaTeX$$\ln (-|z|)=\ln |z|+i(2n+1)\pi .$$

Copy LaTeX$$f(z)=e^z.$$

把二维平面映射到圆柱面。[G: 具体怎么做]

G 补充

写成 $z=x+iy$ 后，固定 $x$ ，改变 $y$ 会沿半径 $e^x$ 的圆转动；$y$ 与 $y+2\pi$ 给出同一点。把相差 $2\pi$ 的水平边粘合，平面就形成圆柱式周期结构。对多值的 $\log z$ ，每绕原点一周，虚部增加 $2\pi$ ，需要用逐层连接的 Riemann 面使其单值化。

连续性：

Copy LaTeX$$f(z)=\mu (x,y)+\nu (x,y)i.$$

$\mu ,\nu$ 连续 $\iff f(z)$ 连续。

微分：

Copy LaTeX$$\frac{df}{dz}=\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{f(z+\mathrm{\Delta }z)-f(z)}{\mathrm{\Delta }z},$$

且与 $\mathrm{\Delta }z$ 趋于零的方位无关！

[G: 举例具体说明]

G 补充

例如 $f(z)=z^2$ 时，商为 $2z+\mathrm{\Delta }z\to 2z$ ，无论 $\mathrm{\Delta }z$ 沿何方向趋于零，结果都相同。

常见导数定算法与实函数相同。对多值复函数，导数要规定单值分支。

若 $f(z)$ 可导，则 Cauchy–Riemann 条件为

Copy LaTeX$$\frac{\partial \mu }{\partial x}=\frac{\partial \nu }{\partial y},\frac{\partial \mu }{\partial y}=-\frac{\partial \nu }{\partial x}.$$

沿 $x$ direction：

Copy LaTeX$$\frac{\partial \mu }{\partial x}+i\frac{\partial \nu }{\partial x}.$$

沿 $y$ direction：

Copy LaTeX$$-i\frac{\partial \mu }{\partial y}+\frac{\partial \nu }{\partial y}.$$

[G: 哪错了？补充正确的版]

G 补充

沿虚轴令 $\mathrm{\Delta }z=i\mathrm{\Delta }y$ ，差商趋于 ${\nu }_y-i{\mu }_y$ ；沿实轴趋于 ${\mu }_x+i{\nu }_x$ 。两者相等给出 ${\mu }_x={\nu }_y$ 、${\nu }_x=-{\mu }_y$ 。只比较两条轴向只能得到必要条件；若一阶偏导在邻域连续，CR 条件才可用作充分条件。

极坐标下：

Copy LaTeX$$\frac{\partial \mu }{\partial \rho }=\frac{1}{\rho }\frac{\partial \nu }{\partial \phi },\frac{1}{\rho }\frac{\partial \mu }{\partial \phi }=-\frac{\partial \nu }{\partial \rho }.$$

例：$f(z)=\mathrm{Re}z=x$ 连续，但不满足 CR 条件，不可导。一般 $\mathrm{Re}$ 、$\mathrm{Im}$ 、$\overline{z}$ 等函数不可导。

解析：若在 $z_0$ 及邻域处处可导，则在 $z_0$ 点解析。