2026-09-07 理论力学：经典时空观与狭义相对论

§1 经典时空观

Copy LaTeX$$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }=g_{11}(d{x}^1{)}^2+g_{12}d{x}^{1}d{x}^2+g_{21}d{x}^{2}d{x}^1+g_{22}(d{x}^2{)}^2.$$

极坐标：

Copy LaTeX$$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\phi }^2,x^1=r,x^2=\phi .$$

[G: 逆变和协变]

G 补充

逆变分量按 $A^{{\mu }^{\prime }}=(\partial x^{{\mu }^{\prime }}/\partial x^{\nu })A^{\nu }$ 变换；协变分量按 $A_{{\mu }^{\prime }}=(\partial x^{\nu }/\partial x^{{\mu }^{\prime }})A_{\nu }$ 变换。度规用来升降指标：$A_{\mu }=g_{\mu \nu }{A}^{\nu }$ 。

1. 相对性原理：物理规律形式在不同惯性系中相同。所谓惯性系，即牛顿定律成立。

事例：某时某地，质点的时空坐标即一事件：$(t,x,y,z)$ 。

Copy LaTeX$$K:(t,x,y,z)⟷K^{\prime }:(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }).$$

相对时空坐标，更有意义的是两个事件之间的时空间隔：

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }t=t_2-t_1,\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1.$$

2. 经典时空观。观点一：$\mathrm{\Delta }t$ 是绝对的。观点二：$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ 是相对的，$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}\ne \mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}^{\prime }$ ；仅当 $\mathrm{\Delta }t=0$ 时，$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=|\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}^{\prime }|$ 。

事例：[? 推测：同一人在火车上相隔一段时间仍处于车厢内同一位置；在火车参考系中两事件的空间间隔为零，而在地面参考系中火车已前进，两事件的空间间隔不为零。]

速度合成规律

设 $K^{\prime }$ 相对 $K$ 以速度 $\overrightarrow{v}$ 运动，则

Copy LaTeX$${\overrightarrow{v}}_K={\overrightarrow{v}}_{K^{\prime }}+\overrightarrow{v}.$$

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{R}+{\overrightarrow{r}}^{\prime }.$$

由于 $t$ 绝对，对上式求导得到速度合成规律。

平移：

Copy LaTeX$$t\to t+\delta ,\overrightarrow{r}\to \overrightarrow{r}+\overrightarrow{\epsilon }.$$

$\mathrm{\Delta }t,\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ 不变，$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ 形式不变。[G: 举例]

G 补充

把计时零点整体推迟 $\delta$ 、把空间原点平移 $\overrightarrow{\epsilon }$ ，两个事件的差仍为 $\mathrm{\Delta }t$ 、$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ ；速度、加速度也不因常量平移改变。

推论：存在连续可调的参数，所有连续变换构成一个群。[G]

G 补充

这里的“群”指一组变换在复合运算下满足封闭性、结合律、单位元与逆元。空间平移满足 $T(\overrightarrow{a})T(\overrightarrow{b})=T(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ ，逆变换为 $T(-\overrightarrow{a})$ 。平移参数可以连续变化，所以它是连续群；旋转构成 $SO(3)$ ，平移、旋转、时间平移与惯性系间的匀速变换共同构成 Galilean 群。连续对称性还与守恒量相联系：时间平移对应能量守恒，空间平移对应动量守恒，空间旋转对应角动量守恒。

2. 空间转动

Copy LaTeX$${\overrightarrow{r}}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\overrightarrow{r}.$$

Copy LaTeX$$(1,0)\to (\cos \theta ,\sin \theta ),(0,1)\to (-\sin \theta ,\cos \theta ).$$

平面内转动有一个参数；三维空间有 3 个角度参数。

[G: 为什么不同转轴参数？回到原点而又不统一？]

G 补充

三维有限转动由转轴方向两个参数和转角一个参数决定。绕不同轴的转动一般不对易，不能简单合成成同一个标量角参数；但任何有限转动都可等价描述为绕某一过原点的轴转动一个角度。

3. $K\to K^{\prime }$ （3 个参数）

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}^{\prime }+\overrightarrow{v}{t}^{\prime },t=t^{\prime }.$$

Copy LaTeX$$\overrightarrow{F}=m\frac{d({\overrightarrow{v}}^{\prime }+\overrightarrow{v})}{dt}=m\frac{d{\overrightarrow{v}}^{\prime }}{dt}.$$

故 $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ 是伽利略协变的。

§2 狭义相对论

基本原理：相对性原理、光速不变。

新不变量：

Copy LaTeX$$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{\overrightarrow{r}}^2.$$

对事件 $(t_1,{\overrightarrow{r}}_1)$ 、$(t_2,{\overrightarrow{r}}_2)$ ，在 $K$ 中光速不变：

Copy LaTeX$$\frac{|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1|}{t_2-t_1}=c\Rightarrow d{s}^2=0.$$

在 $K^{\prime }$ 中同理 $d{s}^{\prime 2}=0$ 。对于有质量粒子，$d{s}^2>0$ 。

若 $d{s}^2\ne d{s}^{\prime 2}$ ，设 $d{s}^2=ad{s}^{\prime 2}$ 。由空间均匀性，$a$ 与 $t,\overrightarrow{r}$ 无关；由方向均匀，$a=a(v)$ 。

考虑参考系 $K,K_1,K_2$ ：

Copy LaTeX$$d{s}^2=a(v_1)d{s}_1^2,d{s}_2^2=a(v_2)d{s}^2,d{s}_1^2=a(v_{12})d{s}_2^2.$$

于是

Copy LaTeX$$a(v_1)a(v_{12})=a(v_2),a(v_{12})=\frac{a(v_2)}{a(v_1)}.$$

但 $a(v_{12})$ 与 $v_1,v_2$ 的相对方向无关；由此 $a$ 为常数，且取值为 1。故 $d{s}^2=d{s}^{\prime 2}$ 。

• $d{s}^2=0$ ：类光。
• $d{s}^2>0$ ：类时，可存在因果联系。
• [? 推测：结合下一页的续写，此处是“$d{s}^2<0$ ：类空间隔，两个事件不能由速度不超过 $c$ 的信号连接，因此不能存在直接因果联系。”]

在不同参考系中，$d{s}^2$ 不变 $\Rightarrow$ 因果性确定。

何种变换下 $d{s}^2$ 不变？

1. 平移：$dt,d\overrightarrow{r}$ 不变。
2. 旋转：$dt,|d\overrightarrow{r}|$ 不变。
3. 换参考系：若仍取 Galilean 变换，则 $|d\overrightarrow{r}{|}^2\ne |d{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^2$ ，$d{s}^2$ 改变，不满足。