CMC 学习提纲

CMC

方法思想

这组题的共同主线是：先识别结构，再选择能把结构显露出来的变形，最后判断需要控制到什么精度。

1. 识别运算层次：幂指数型先取对数，把“幂与乘积”降为“和”；指数按 $1,2,4,\dots$ 加倍的乘积，联想到平方差的连锁消去；含 $i/n$ 与 $1/n$ 的和式，联想到黎曼和。
2. 主动补出标准结构：乘积题补乘 $1-a$ ，不是随意添项，而是为了生成 $1-a^2,1-a^4,\dots$ ；和式题提取 $1/n$ ，是为了形成 $f(i/n)\mathrm{\Delta }x$ 。
3. 先判断题目所需精度：只求 $A_n$ 的极限，识别定积分即可；若还乘了 $n$ ，说明需要研究 $O(1/n)$ 的一阶误差，不能停在“二者极限相同”。
4. 把局部误差重新汇总：将积分与黎曼和之差分到每个小区间，用中值定理描述单段误差，再把导数值的和识别成新的黎曼和。

做题时可按下面的顺序自问：

• 这个表达式最像哪一种标准结构？
• 缺少哪个因子或尺度，才能变成该结构？
• 题目只要极限值，还是还要误差的阶与首项？
• 变形后使用的定理有哪些条件，符号与端点是否匹配？

数列极限

幂指数型极限：先取对数

当数列含有整体幂指数时，可先对其取对数，把乘积或阶乘转化为和，再判断对数的极限；最后用指数函数还原。

例如

Copy LaTeX$$L_n=(n!{)}^{1/n^2},$$

则

Copy LaTeX$$\ln L_n=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\ln i.$$

常用处理有两种：

• 放缩并使用 Cesàro 平均：由 $\frac{\ln i}{i}\to 0$ 控制相应平均值。
• 使用 Stirling 公式 $n!\sim \sqrt{2\pi n}(n/e{)}^n$ ，直接得到 $\ln L_n\to 0$ 。

因此

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(n!{)}^{1/n^2}=1.$$

易错点：取对数后求得的是 $\ln L_n$ 的极限，最后不要漏掉指数还原。

二倍指数乘积：补因子制造连锁消去

对

Copy LaTeX$$x_n=\prod _{k=0}^n(1+a^{2^k}),|a|<1,$$

看到指数 $1,2,4,\dots ,2^n$ 时，可补乘 $1-a$ ，反复使用平方差：

Copy LaTeX$$(1-a)x_n=1-a^{2^{n+1}}.$$

因为 $|a|<1$ ，有 $a^{2^{n+1}}\to 0$ ，所以

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\frac{1}{1-a}.$$

判断方法：若相邻因子的指数依次加倍，优先尝试用 $1-u^2=(1-u)(1+u)$ 构造望远镜式乘积。

黎曼和及其误差

从离散和识别定积分

若和式可以整理成

Copy LaTeX$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right),$$

则它是区间 $[0,1]$ 上采用右端点的黎曼和。识别时抓住两个结构：

• $i/n$ 是采样点；
• $1/n$ 是小区间长度。

例如

Copy LaTeX$$A_n=\sum _{i=1}^n\frac{n}{n^2+i^2}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{1+(i/n{)}^2}.$$

取

Copy LaTeX$$f(x)=\frac{1}{1+x^2},$$

则

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n={\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{\pi }{4}.$$

右端点黎曼和的一阶误差

仅识别黎曼和只能求出 $A_n$ 的极限；若题目含有

Copy LaTeX$$n({\int }_0^{1}f(x)dx-A_n),$$

还需要保留误差的一阶项。

令 $x_i=i/n$ 。先把误差精确分段：

Copy LaTeX$${\int }_0^{1}f(x)dx-A_n=\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-f(x_i))dx.$$

若 $f^{\prime }$ 连续，利用中值定理可将每段写成某个 ${\eta }_i\in (x_{i-1},x_i)$ 处的导数乘以

Copy LaTeX$${\int }_{x_{i-1}}^{x_i}(x_i-x)dx=\frac{1}{2n^2}.$$

于是得到一般结论

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n[{\int }_0^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)]=-\frac{1}{2}{\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=\frac{f(0)-f(1)}{2}.$$

对 $f(x)=1/(1+x^2)$ ，

Copy LaTeX$$\frac{f(0)-f(1)}{2}=\frac{1-1/2}{2}=\frac{1}{4}.$$

因此

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(\frac{\pi }{4}-A_n)=\frac{1}{4}.$$

易错点：

• $lim{A}_n=\int f$ 只说明误差趋于零，不能直接给出误差的阶。
• 使用右端点还是左端点会影响一阶误差的符号。
• 中值定理中的点会随小区间变化；最后要把这些点组成的和重新识别为黎曼和。

Sources

• 2026-09-03
• 2026-09-05