2026-09-03 CMC：数列极限、无穷乘积与黎曼和误差

CMC

Day 1

① 第 4 届 一-(1)

求

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(n!{)}^{\frac{1}{n^2}}.$$

幂指数，取对数：

Copy LaTeX$$\frac{1}{n^2}\ln (n!).$$

$n!$ 阶乘对数，展开是求和：

Copy LaTeX$$\ln n+\cdots +\ln 1.$$

无法直接求，考虑前面 $\frac{1}{n^2}$ ，拆出 $\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}$ ：

Copy LaTeX$$\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}(\ln n+\cdots +\ln 1).$$

后面正是数列式，拆出 $\frac{1}{n}$ 后关键是要放缩：

Copy LaTeX$$\frac{1}{n}(\frac{\ln n}{n}+\frac{\ln (n-1)}{n}+\cdots +\frac{\ln 1}{n})<\frac{1}{n}(\frac{\ln n}{n}+\frac{\ln (n-1)}{n-1}+\cdots +\frac{\ln 1}{1}).$$

构造出新数列

Copy LaTeX$$\frac{\ln n}{n},$$

它的平均值正好就是此式。

由

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{\ln i}{i}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln n}{n}=0,$$

故对数式 $=0$ ，原式 $=e^0=1$ 。

或者不展开，因为无法求和，故用

Copy LaTeX$$\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n\sim n!.$$

取对数：

Copy LaTeX$$\frac{1}{2}\ln (2\pi n)+n\ln \frac{n}{e}.$$

除以 $n^2$ ：

Copy LaTeX$$\frac{\ln (2\pi n)}{2n^2}+\frac{\ln (n/e)}{n}\to 0.$$

故原极限 $=1$ 。

② 第 2 届 [? 推测：五]-(1)

Copy LaTeX$$x_n=(1+a)(1+a^2)\cdots (1+a^{2^n}),|a|<1,$$

求

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n.$$

指数：

Copy LaTeX$$1,2,4,\dots ,2^n.$$

添项 $(1-a)$ ：

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}(1-a)x_n& =(1-a^2)(1+a^2)(1+a^4)\cdots (1+a^{2^n})\\ & =1-a^{2^{n+1}}.\end{array}$$

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-a^{2^{n+1}})=1.$$

故

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\frac{1}{1-a}.$$

③ 第 6 届 六

设

Copy LaTeX$$A_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2},$$

求

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(\frac{\pi }{4}-A_n).$$

不会，那我先描述一下吧。

$A_n$ 是一个和式，分子为 $n$ ，分母为 $n^2+i^2$ 。

求当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，$(\frac{\pi }{4}-A_n)\times n$ 。

$\frac{\pi }{4}$ 是一个常值与一个和式的差，要么把常值变为和式，要么把和式求出其值来。前者想不到什么有关的级数；后者，那它给 $\frac{\pi }{4}$ 干嘛？难道有第二种可能？$(\frac{\pi }{4}-A_n)$ 肯定是无穷小。

以下是答案：

考虑函数

Copy LaTeX$$f(x)=\frac{1}{1+x^2}.$$

这个式子恰好与 $A_n$ 中的项 $\frac{n}{n^2+i^2}$ 有点像，对应为。

设

Copy LaTeX$$x_i=\frac{i}{n},$$

利用定积分定义：

Copy LaTeX$${\int }_0^{1}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}.$$

这里有点眉目了：定积分这个形式本身就对应着 $A_n$ 那种“区间分割求和”[? 推测：把 $n$ 分割成 $i$ 到 $i+n$ ]。

于是，是走的第 2 种路线，把 $A_n$ 求出值来：

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{n^2}{n^2+i^2}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{1+{\left(\frac{i}{n}\right)}^2}\\ & ={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx.\end{array}$$

构造数列 $\to$ 积分的关键有 2：

1. $\frac{i}{n}$ 作为微分中的微小自变量；
2. $\frac{1}{n}$ 作为微分元素。

Copy LaTeX$${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx={{\tan }^{-1}x|}_0^1=\frac{\pi }{4}.$$

下面关键是把 $\frac{\pi }{4}-A_n$ 的等价无穷小用 $n$ 表示：

$A_n$ 当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时是一个极限值、定积分，但 $n$ 在逼近过程中，要搞清 $\frac{\pi }{4}-A_n$ 的阶数，才能与 $n$ 相乘得到最终答案。

一个无穷小数列的阶数，你不知道数列的具体解析形式，只知道它的极限情况（定积分），这很有意思。

答案：用中值定理。其实意义很明显：你知道连续形式，那么你要的离散形式应该就在两个连续形式之间、极限情况下某点。

所以

Copy LaTeX$$\frac{\pi }{4}-A_n=\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-f(x_i))dx.$$

这是精确的积分的分段积分。

把每项展开，只是拆成了积分，和函数 $f(x)$ 。

Lagrange 中值定理：$\mathrm{\exists }{\xi }_i\in (x,x_i)$ ，使

Copy LaTeX$$f(x)-f(x_i)=f^{\prime }({\xi }_i)(x-x_i).$$

故某一小段

Copy LaTeX$${\int }_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-f(x_i))dx=f^{\prime }({\xi }_i){\int }_{x_{i-1}}^{x_i}(x-x_i)dx.$$

这是思路，不行。

设 $f^{\prime }(x)$ 在 $[x_{i-1},x_i]$ 上最大、最小值为 $M_i,m_i$ 。因为

Copy LaTeX$${\int }_{x_{i-1}}^{x_i}(x_i-x)dx=\frac{1}{2n^2},$$

故

Copy LaTeX$$\frac{m_i}{2n^2}\le {\int }_{x_{i-1}}^{x_i}{f}^{\prime }({\xi }_i)(x_i-x)dx\le \frac{M_i}{2n^2}.$$

所以，用积分中值定理而非微分，是因为后面要积分，再用换元放缩法确定上下界。

至此，还是不明白为什么，回到原题。

利用连续函数中值定理，$\mathrm{\exists }{\eta }_i\in (x_{i-1},x_i)$ ，使

Copy LaTeX$$f^{\prime }({\eta }_i)=2n^2{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}{f}^{\prime }({\xi }_i)(x_i-x)dx.$$

因此

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(\frac{\pi }{4}-A_n)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}{f}^{\prime }({\xi }_i)(x-x_i)dx\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\sum _{i=1}^n\frac{-f^{\prime }({\eta }_i)}{2n^2}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^n[-f^{\prime }({\eta }_i)]\\ & =-\frac{1}{2}{\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx\\ & =\frac{1}{4}.\end{array}$$

以后要先自己做，再快速抄，再默写。