2026-09-03 计算物理：割圆术、数值稳定性与插值

计物

割圆术：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
    double h;
    int i = 6;
    double l = 1;
    double r = 1;
    int n;
    scanf("%d", &n);

    for (int k = 0; k < n; k++)
    {
        x = l * 0.5;
        h = sqrt(r * r - x * x);
        S = i * x * h;
        l = sqrt((r - h) * (r - h) + x * x);
        i *= 2;
    }

    return 0;
}

问题：$(r-h{)}^2$ 相差太小，两个数相减，有效数字丢失。

解决：

Copy LaTeX$$r-h=\frac{r^2-h^2}{r+h}=\frac{x^2}{r+h}.$$

当 $r=1$ 时，

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\sqrt{(1-h{)}^2+x^2}& =\sqrt{(1-h)[(1-h)+(1+h)]}\\ & =\sqrt{2(1-h)}\\ & =\sqrt{\frac{2x^2}{1+h}}.\end{array}$$

AI 代码校核

手写代码的主要问题：

• x 和 S 未声明，代码无法通过编译；应声明为 double x, S;。
• 计算出 S 后没有输出；若要观察圆周率近似值，应在循环中或循环后使用 printf。
• 原更新式中的 r - h 会在 $h\approx r$ 时发生相消，正是板书指出的数值不稳定处。
• 对本页的 $r=1$ ，可将边长更新改为 l = sqrt(2 * x * x / (1 + h));。若保留一般半径 $r$ ，稳定的等价式是 l = sqrt(2 * r * x * x / (r + h));。
• i 实际表示正多边形边数，改名为 sides 会更清楚；若迭代很多次，int 还可能溢出。

插值问题

Lagrange 插值法。

高次多项式插值

Copy LaTeX$$y=f(x),qquada<x_0<\cdots <x_n<b,$$

共 $n+1$ 个不同点。

若

Copy LaTeX$$P_n(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$$

使

Copy LaTeX$$P_n(x_k)=y_k,$$

则 $P_n(x)$ 是 $y=f(x)$ 的插值多项式。

存在性与唯一性：

Copy LaTeX$$\{\begin{array}{l}{a}_0+a_1{x}_0+\cdots +a_n{x}_0^n=y_0,\\ ⋮\\ a_0+a_1{x}_n+\cdots +a_n{x}_n^n=y_n.\end{array}$$

方程组有唯一解，因为 Vandermonde 行列式

Copy LaTeX$$\left|\begin{array}{ccccc}1& x_0& x_0^2& \cdots & x_0^n\\ 1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^n\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \cdots & x_n^n\end{array}\right|=\prod _{0\le j<i\le n}(x_i-x_j)\ne 0.$$

[G: 补充展开式和证明]

G 补充

记该行列式为 $V_n(x_0,\dots ,x_n)$ 。把它看成关于 $x_n$ 的多项式：当 $x_n=x_j$ （$j<n$ ）时，末行与第 $j$ 行相同，所以行列式为零。因此它含有全部因子

Copy LaTeX$$\prod _{j=0}^{n-1}(x_n-x_j).$$

关于 $x_n$ 的最高次项系数是前 $n$ 行构成的 Vandermonde 行列式 $V_{n-1}$ ，故

Copy LaTeX$$V_n=V_{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}(x_n-x_j).$$

递推并使用 $V_0=1$ ，得到

Copy LaTeX$$V_n=\prod _{0\le j<i\le n}(x_i-x_j).$$

各节点互异，所以每个因子都非零，线性方程组因而有唯一解。

Copy LaTeX$$\{x^0,x^1,\dots ,x^n\}=\{1,x,\dots ,x^n\}$$

相互独立，构成一组完备基。

[G: 是正交基吗，证明？]

G 补充

它是多项式空间 ${\mathcal{P}}_n$ 的一组基，但没有指定内积时不能称为“正交基”。线性无关可这样证明：若

Copy LaTeX$$a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n\equiv 0,$$

零多项式的每个系数都必须为零，因此 $a_0=\cdots =a_n=0$ 。同时任意次数不超过 $n$ 的多项式都能由这些单项式线性表示，所以它们张成 ${\mathcal{P}}_n$ 。

线性插值

Copy LaTeX$$L(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0).$$

Copy LaTeX$$l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1},l_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}.$$

Copy LaTeX$$l_0(x_0)=1,l_1(x_0)=0,$$

Copy LaTeX$$l_0(x_1)=0,l_1(x_1)=1.$$

于是

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}{y}_0{l}_0(x)+y_1{l}_1(x)& =\frac{x_1-x}{x_1-x_0}{y}_0+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}{y}_1\\ & =y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)\\ & =L(x).\end{array}$$

抛物线插值

三点不共线，总有一条抛物线经过。

Copy LaTeX$$L_2(x)=\sum _i{l}_i(x)y_i.$$

$l_i(x)$ 是二次多项式，且

Copy LaTeX$$l_i(x_j)={\delta }_{ij}.$$

故可设

Copy LaTeX$$l_0(x)=k_0(x-x_1)(x-x_2).$$

由 $l_0(x_0)=1$ ，

Copy LaTeX$$k_0=\frac{1}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}.$$

同理，

Copy LaTeX$$k_1=\frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_0)},\cdots$$

多项式插值

Copy LaTeX$$l_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$$

缺点：无递推性；增加节点，需要全部重新计算。

Newton 插值法

差商：

Copy LaTeX$$f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.$$

Copy LaTeX$$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.$$

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}f[x_0,x_1,x_2]& =\frac{{\displaystyle \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}}-{\displaystyle \frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}}}{x_2-x_0}\\ & =\frac{(x_0-x_1)(y_1-y_2)-(x_1-x_2)(y_0-y_1)}{(x_2-x_0)(x_1-x_2)(x_0-x_1)}.\end{array}$$

Copy LaTeX$$f[x_0,\dots ,x_k]=\sum _{i=0}^k\frac{y_i}{(x_i-x_0)\cdots (x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots (x_i-x_k)}.$$

[G: 差商性质]

G 补充

差商具有以下常用性质：

• 对节点对称，交换 $x_0,\dots ,x_k$ 的次序不改变 $f[x_0,\dots ,x_k]$ 。
• 对函数具有线性：$(af+bg)[x_0,\dots ,x_k]=af[x_0,\dots ,x_k]+bg[x_0,\dots ,x_k]$ 。
• 若 $f$ 是次数低于 $k$ 的多项式，则 $k$ 阶差商为 $0$ ；若次数恰为 $k$ ，则 $k$ 阶差商等于最高次项系数。
• 若 $f\in C^k$ ，则存在节点区间内的 $\xi$ ，使

Copy LaTeX$$f[x_0,\dots ,x_k]=\frac{f^{(k)}(\xi )}{k!}.$$

Newton 插值。

线性：

Copy LaTeX$$N_1(x)=f(x_0)+(x-x_0)f[x_0,x_1].$$

由于插值的唯一性，$N_n(x)$ 与 $L_n(x)$ 是同一个多项式，只是形式不同。

二次：

Copy LaTeX$$N_2(x)=N_1(x)+k(x-x_0)(x-x_1).$$

由 $N_2(x_2)=y_2$ ，

Copy LaTeX$$k(x_2-x_0)(x_2-x_1)=y_2-N_1(x_2),$$

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}k& =\frac{f[x_0,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_1}\\ & =f[x_0,x_1,x_2].\end{array}$$

Copy LaTeX$$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{y_0}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+\frac{y_1}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+\frac{y_2}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.$$

例题：

Copy LaTeX$$f(x)=\frac{1}{1+x}.$$

$L_4(x)$ ，$L_8(x)$ 。