2026-09-03 理论力学：曲线坐标、度规与自然坐标系

2. 坐标变换

二维平面

① 笛卡儿坐标系

位置：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}=x{\overrightarrow{e}}_x+y{\overrightarrow{e}}_y.$$

② 极坐标

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}=r{\overrightarrow{e}}_r=\overrightarrow{r}(r,\phi ).$$

变换：

Copy LaTeX$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \phi ,\\ y=r\sin \phi ,\end{array}\{\begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+y^2},\\ \phi =\arctan \left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right).\end{array}$$

[? 推测：原笔记此处提醒第二、三象限问题。]

这种表示下，基矢不固定，与极坐标位置有关。

求导：

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{v}& =(r{\overrightarrow{e}}_r{)}^{\mathbf{\cdot }}\\ & =\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r+r{\dot{\overrightarrow{e}}}_r\\ & =\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r+r\dot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }.\end{array}$$

也可用 $\{{\overrightarrow{e}}_x,{\overrightarrow{e}}_y\}$ 基下表示：

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{v}& =(\dot{r}\cos \phi -r\sin \phi \dot{\phi }){\overrightarrow{e}}_x\\ & +(\dot{r}\sin \phi +r\cos \phi \dot{\phi }){\overrightarrow{e}}_y.\end{array}$$

$v_x$ 与 $v_y$ 是 $\dot{r}$ 与 $\dot{\phi }$ 的线性函数；$\dot{r}$ 与 $\dot{\phi }$ 就是广义速度。

合并：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{v}=\dot{r}(\cos \phi {\overrightarrow{e}}_x+\sin \phi {\overrightarrow{e}}_y)+\dot{\phi }(-r\sin \phi {\overrightarrow{e}}_x+r\cos \phi {\overrightarrow{e}}_y).$$

发现：

Copy LaTeX$$\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{e}}_r=\cos \phi {\overrightarrow{e}}_x+\sin \phi {\overrightarrow{e}}_y,\\ {\overrightarrow{e}}_{\phi }=-\sin \phi {\overrightarrow{e}}_x+\cos \phi {\overrightarrow{e}}_y.\end{array}$$

即基变换公式。

从一组不变基到另一组：正交变换。

Copy LaTeX$$\frac{\partial {\overrightarrow{e}}_r}{\partial \phi }=-\sin \phi {\overrightarrow{e}}_x+\cos \phi {\overrightarrow{e}}_y={\overrightarrow{e}}_{\phi },$$

Copy LaTeX$$\frac{\partial {\overrightarrow{e}}_{\phi }}{\partial \phi }=-{\overrightarrow{e}}_r.$$

加速度：

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& =\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r+r\dot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi })\\ & =\ddot{r}{\overrightarrow{e}}_r+\dot{r}\dot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }+\dot{r}\dot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }+r\ddot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }-r{\dot{\phi }}^2{\overrightarrow{e}}_r\\ & =(\ddot{r}-r{\dot{\phi }}^2){\overrightarrow{e}}_r+(2\dot{r}\dot{\phi }+r\ddot{\phi }){\overrightarrow{e}}_{\phi }.\end{array}$$

圆周运动，$\dot{r}=0$ ：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{a}=-r{\dot{\phi }}^2{\overrightarrow{e}}_r+r\ddot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }.$$

……一般二维坐标系：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(u,v),$$

Copy LaTeX$$\overrightarrow{v}=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u}\dot{u}+\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial v}\dot{v}={\overrightarrow{r}}_u\dot{u}+{\overrightarrow{r}}_v\dot{v}.$$

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}d{s}^2=d\overrightarrow{r}\cdot d\overrightarrow{r}& ={\overrightarrow{r}}_u\cdot {\overrightarrow{r}}_{u}d{u}^2+{\overrightarrow{r}}_v\cdot {\overrightarrow{r}}_{v}d{v}^2\\ & +2{\overrightarrow{r}}_u\cdot {\overrightarrow{r}}_{v}dudv.\end{array}$$

若 $du,dv$ 正交：

Copy LaTeX$${\overrightarrow{r}}_u\cdot {\overrightarrow{r}}_v=0,$$

则为正交坐标系（曲线坐标系）。

Copy LaTeX$$\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{e}}_u={\displaystyle \frac{{\overrightarrow{r}}_u}{\Vert {\overrightarrow{r}}_u\Vert }},\\ {\overrightarrow{e}}_v={\displaystyle \frac{{\overrightarrow{r}}_v}{\Vert {\overrightarrow{r}}_v\Vert }}.\end{array}$$

极坐标系：

Copy LaTeX$$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\phi }^2.$$

$\Vert {\overrightarrow{r}}_u{\Vert }^2$ 、$\Vert {\overrightarrow{r}}_v{\Vert }^2$ 是 $d{u}^2$ 、$d{v}^2$ 的系数。

$\downarrow$

度量矩阵（度规）。

度规衡量长度的变化：

Copy LaTeX$$\left(\begin{array}{cc}dr& d\phi \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& r^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dr\\ d\phi \end{array}\right)=d{r}^2+r^{2}d{\phi }^2.$$

Copy LaTeX$$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }.$$

Copy LaTeX$$d{x}^{\mu }\sim \{du,dv\},$$

Copy LaTeX$${\overrightarrow{e}}_{\mu }=\frac{\partial \overrightarrow{r}/\partial x^{\mu }}{\sqrt{g_{\mu \mu }}}.$$

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}{E}_k=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}^{,2}& =\frac{1}{2}m\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\cdot \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\\ & =\frac{1}{2}m{g}_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }.\end{array}$$

[G: $x$ 含义？]

G 补充

这里的 $x^{\mu }$ 不是单独的直角坐标 $x$ ，而是对一组广义坐标的统一记号；指标 $\mu$ 枚举各坐标。例如二维极坐标可写成

Copy LaTeX$$x^1=r,x^2=\phi .$$

因而 ${\dot{x}}^{\mu }$ 表示相应的广义速度。重复指标 $\mu ,\nu$ 表示求和。

极坐标：

Copy LaTeX$$E_k=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2).$$

球坐标：

Copy LaTeX$$g_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right).$$

Copy LaTeX$${\overrightarrow{e}}_r=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r},{\overrightarrow{e}}_{\theta }=\frac{1}{r}\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta },{\overrightarrow{e}}_{\phi }=\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi }.$$

[G: 详细推导]

G 补充

取球坐标的位置矢量

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}=r\sin \theta \cos \phi {\overrightarrow{e}}_x+r\sin \theta \sin \phi {\overrightarrow{e}}_y+r\cos \theta {\overrightarrow{e}}_z.$$

分别求偏导：

Copy LaTeX$$\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r}=\sin \theta \cos \phi {\overrightarrow{e}}_x+\sin \theta \sin \phi {\overrightarrow{e}}_y+\cos \theta {\overrightarrow{e}}_z,$$

其模为 $1$ ，所以它就是 ${\overrightarrow{e}}_r$ ；

Copy LaTeX$$\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta }=r(\cos \theta \cos \phi {\overrightarrow{e}}_x+\cos \theta \sin \phi {\overrightarrow{e}}_y-\sin \theta {\overrightarrow{e}}_z),$$

其模为 $r$ ，归一化后得到 ${\overrightarrow{e}}_{\theta }$ ；

Copy LaTeX$$\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi }=r\sin \theta (-\sin \phi {\overrightarrow{e}}_x+\cos \phi {\overrightarrow{e}}_y),$$

其模为 $r\sin \theta$ ，归一化后得到 ${\overrightarrow{e}}_{\phi }$ 。

自然坐标系：

参数 $t$ ：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{v}=\dot{s}{\overrightarrow{e}}_{\tau },$$

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& =\ddot{s}{\overrightarrow{e}}_{\tau }+\dot{s}\frac{d{\overrightarrow{e}}_{\tau }}{dt}\\ & =\ddot{s}{\overrightarrow{e}}_{\tau }+{\dot{s}}^2\frac{\partial {\overrightarrow{e}}_{\tau }}{\partial s}.\end{array}$$

Copy LaTeX$$\frac{\partial {\overrightarrow{e}}_{\tau }}{\partial s}=\frac{\partial {\overrightarrow{e}}_{\tau }}{\partial \phi }\frac{d\phi }{ds},\Vert \frac{\partial {\overrightarrow{e}}_{\tau }}{\partial \phi }\Vert =1,$$

沿 ${\overrightarrow{e}}_n$ 方向，曲率为 $d\phi /ds=1/\rho$ ，故法向加速度为

Copy LaTeX$$\frac{{\dot{s}}^2}{\rho }{\overrightarrow{e}}_n.$$

Copy LaTeX$$\rho =\frac{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}{|y^{″}|}.$$

Copy LaTeX$$ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx.$$

Copy LaTeX$$\phi ={\tan }^{-1}{y}^{\prime },$$

Copy LaTeX$$d\phi =\frac{y^{″}}{1+y^{\prime 2}}dx.$$

求导。