2026-09-02 计算物理：数值误差与稳定计算

计算物理

内容：

1. 科学计算基本原则
2. 插值、函数拟合
3. 数值微积分、解 ★
4. 非线性方程求根与方程组 ★
5. 矩阵、特征值/向量 ★
6. 常微分方程数值解 ★
7. 偏微分方程初边值问题 → 基本掌握
8. Monte Carlo 方法

9 次上机课考试，手撕代码（50%）
10 次提交课堂作业，可查资料（50%）

Chap 1：科学计算

Steps：

1. 建模 → 解析求解
2. 设计算法 → 编写程序 → 上机运行

设计算法得到数值结果：检验；与实验结果对比（修正）。

计算机特点：

• 擅长离散系统（连续系统离散化）

• 精度有限

• 擅长四则运算、逻辑、迭代计算

原则：近似化、可用。

误差分类：

1. 模型误差：理论模型与实际系统
2. 测量误差
3. 截断误差（Taylor 展开……），迭代次数太大
4. 舍入误差

刻画：

• 绝对：$|x-x^{\ast }|$ ，$x^{\ast }$ ：真值
• 相对：${\displaystyle \frac{|x-x^{\ast }|}{x^{\ast }}}$ → 一般用可求的值代替 $x^{\ast }$

Taylor 展开（一阶）：

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}{\epsilon }_y& =y-y^{\ast }\\ & =f(x_1,\dots ,x_n)-f(x_1^{\ast },\dots ,x_n^{\ast })\\ & \approx \sum _{i=1}^n\frac{\partial f(x_1^{\ast },\dots ,x_n^{\ast })}{\partial x_i^{\ast }}(x_i-x_i^{\ast }).\end{array}$$

其中 $x_i-x_i^{\ast }$ 为输入误差。

原则 3：使用稳定的公式，控制误差的传播。

例：

Copy LaTeX$$I_n=e^{-1}{\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx.$$

分部积分：

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}{I}_n& =e^{-1}{\int }_0^1{x}^{n}d(e^x)\\ & =e^{-1}[x^n{e}^x-{\int }_0^{1}n{x}^{n-1}{e}^{x}dx]\\ & =1-n{I}_{n-1}.\end{array}$$

得到递推公式，而

Copy LaTeX$$I_0=1-e^{-1}.$$

根据此递推式，得到 $I_8<0$ 。

原因：递推时，每次误差乘以 $n$ 。

反过来算：

Copy LaTeX$$I_{n-1}=\frac{1}{n}(1-I_n),$$

往回迭代。

如何求后面的 $I_n$ ：

Copy LaTeX$$e^{-1}min(e^x){\int }_0^1{x}^{n}dx<I_n<e^{-1}max(e^x){\int }_0^1{x}^{n}dx,$$

即

Copy LaTeX$$e^{-1}\frac{1}{n+1}<I_n<e^{-1}\frac{e}{n+1}=\frac{1}{n+1}.$$

当 $n$ 很大，可夹逼得到 $I_n$ 。

例 2：秦九韶算法。

Copy LaTeX$$P(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0.$$

常规需要

Copy LaTeX$$n+(n-1)+\cdots +1$$

次乘法。

秦：

Copy LaTeX$$P(x)=\{\cdots [(a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2}]\cdots \}x+a_0.$$

只需 $n$ 次乘法和 $n$ 次加法。

例 3：尽量避免大小相近数相减。

如：

Copy LaTeX$$\sqrt{x+1}-\sqrt{x},x=1000,$$

有效数字 4 → 1。

Copy LaTeX$$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}.$$

（小量 → 倒数，分母变大。）

例 4：

绝对值太小不宜做除数。

Copy LaTeX$$\frac{3.14}{0.001}-\frac{3.14}{0.0011},$$

误差放大。