2026-09-04 数理方法：矢量微分算符、留数积分与球坐标

数理方法

Levi-Civita 符号与叉积

在右手正交基下：

Copy LaTeX$${\overrightarrow{e}}_1\times {\overrightarrow{e}}_2={\overrightarrow{e}}_3,{\overrightarrow{e}}_2\times {\overrightarrow{e}}_3={\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_3\times {\overrightarrow{e}}_1={\overrightarrow{e}}_2.$$

Levi-Civita 符号定义为

Copy LaTeX$${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{ll}1,& (i,j,k)\text{ 为顺序排列},\\ -1,& (i,j,k)\text{ 为逆序排列},\\ 0,& i,j,k\text{ 中有相同指标}.\end{array}$$

因此

Copy LaTeX$${\overrightarrow{e}}_i\times {\overrightarrow{e}}_j={\epsilon }_{ijk}{\overrightarrow{e}}_k.$$

[G: 用途解释？比如 $i,j,k$ 的空间关系？]

G 补充

$i,j,k$ 是基方向的编号。固定 $i,j$ 后，对重复指标 $k$ 求和；${\epsilon }_{ijk}$ 会自动选出垂直于 ${\overrightarrow{e}}_i,{\overrightarrow{e}}_j$ 的方向，并同时给出右手定则对应的正负号。例如

Copy LaTeX$${\overrightarrow{e}}_2\times {\overrightarrow{e}}_1={\epsilon }_{21k}{\overrightarrow{e}}_k={\epsilon }_{213}{\overrightarrow{e}}_3=-{\overrightarrow{e}}_3.$$

它把“指标的排列方向”与“三维空间的取向”联系起来，常用于叉积、行列式、混合积以及矢量恒等式的指标推导。

${\epsilon }_{ijk}$ 可理解为全反对称三阶张量；${\delta }_{ij}$ 可理解为单位阵。

二维 Levi-Civita 符号满足

Copy LaTeX$${\epsilon }_{12}=1,{\epsilon }_{21}=-1,{\epsilon }_{11}={\epsilon }_{22}=0,$$

即

Copy LaTeX$$({\epsilon }_{ij})=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right).$$

Levi-Civita 符号可推广到 $n$ 维空间，此时有 $n$ 个指标。

三重混合积

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{C}& ={\epsilon }_{ijk}{A}_j{B}_k{\overrightarrow{e}}_i\cdot (C_m{\overrightarrow{e}}_m)\\ & ={\epsilon }_{ijk}{A}_j{B}_k{\delta }_{im}{C}_m\\ & ={\epsilon }_{ijk}{C}_i{A}_j{B}_k.\end{array}$$

它也等于由 $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B},\overrightarrow{C}$ 组成的行列式，几何上表示有向平行六面体体积。

场

场是什么？

1. 像机器：输入位置，得到一组数；
2. [? 推测：加强变量之间的联系，并允许描述更多自由度，例如二维弹簧振子的势能是位置的函数。]

[G: 补充 Hamilton 量场的作用及此处的应用]

G 补充

场是在空间中每一点赋予一个量的函数。赋一个数是标量场，如温度 $T(\overrightarrow{r})$ 、电势 $\varphi (\overrightarrow{r})$ ；赋一个向量是矢量场，如电场 $\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})$ 。

Hamilton 量更准确地说是定义在相空间上的标量函数：

Copy LaTeX$$H=H(q_1,\dots ,q_N,p_1,\dots ,p_N,t).$$

它给相空间的每一点赋予系统能量，并通过 Hamilton 方程决定状态随时间的演化：

Copy LaTeX$${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},{\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}.$$

因而这里“场”的思想是：先把一个量看成位置或状态变量的函数，再用梯度等微分算符研究它如何变化。若系统有 $N$ 个自由度，相空间通常有 $2N$ 个坐标，而不只局限于三维物理空间。

场论（续）

Nabla 算符

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }={\overrightarrow{e}}_i{\partial }_i={\overrightarrow{e}}_i\frac{\partial }{\partial x_i}.$$

在笛卡尔坐标下：

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }={\overrightarrow{e}}_x\frac{\partial }{\partial x}+{\overrightarrow{e}}_y\frac{\partial }{\partial y}+{\overrightarrow{e}}_z\frac{\partial }{\partial z}.$$

意义：描述量沿空间各方向的变化率。例如静电场与电势的关系为

Copy LaTeX$$\overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\varphi (\overrightarrow{r}).$$

散度

对矢量场 $\overrightarrow{A}=A_j{\overrightarrow{e}}_j$ ：

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}& =({\overrightarrow{e}}_i{\partial }_i)\cdot (A_j{\overrightarrow{e}}_j)\\ & ={\partial }_i{A}_j{\overrightarrow{e}}_i\cdot {\overrightarrow{e}}_j\\ & ={\partial }_i{A}_j{\delta }_{ij}\\ & ={\partial }_i{A}_i\\ & =\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}.\end{array}$$

注意：${\partial }_i$ 会作用于 $A_j$ ；一般也会作用于基矢 ${\overrightarrow{e}}_j$ ，但笛卡尔坐标的基矢不随位置变化。

旋度

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}& ={\epsilon }_{ijk}{\overrightarrow{e}}_i{\partial }_j{A}_k\\ & =({\partial }_y{A}_z-{\partial }_z{A}_y){\overrightarrow{e}}_x\\ & +({\partial }_z{A}_x-{\partial }_x{A}_z){\overrightarrow{e}}_y\\ & +({\partial }_x{A}_y-{\partial }_y{A}_x){\overrightarrow{e}}_z.\end{array}$$

旋度的旋度

利用

Copy LaTeX$${\epsilon }_{kij}{\epsilon }_{klm}={\delta }_{il}{\delta }_{jm}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl},$$

可得

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A})& ={\overrightarrow{e}}_i{\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{klm}{\partial }_j{\partial }_l{A}_m\\ & ={\overrightarrow{e}}_i({\partial }_i{\partial }_j{A}_j-{\partial }_j{\partial }_j{A}_i)\\ & =\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A})-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{A}.\end{array}$$

Laplace 算符

Copy LaTeX$${\mathrm{\nabla }}^2=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }.$$

在笛卡尔坐标下，对标量场 $\varphi$ ：

Copy LaTeX$${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}={\partial }_j{\partial }_j\varphi .$$

AI 补充（整理）

• 梯度 $\mathrm{\nabla }\varphi$ ：输入标量场，输出变化最快方向及变化率；
• 散度 $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}$ ：输入矢量场，输出局部“源”或“汇”的强弱；
• 旋度 $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}$ ：输入矢量场，输出局部环流或旋转趋势；
• Laplace 算符 ${\mathrm{\nabla }}^2\varphi$ ：衡量标量场在一点相对周围平均值的偏离。

复变函数与留数法

[? 推测：球坐标接着讨论标量场。]

例如：

Copy LaTeX$$\ln u(x,y,z)=\ln (x^2+y^2+z^2).$$

原稿在此记有“${\mathrm{\nabla }}^2$ ”以及“问题：Topology，拓扑面”。

AI 补充（衔接）

在复分析中，拓扑主要关心回路能否在不穿过奇点的情况下连续变形。只要变形过程中不跨过奇点，回路积分保持不变；因此留数定理只需要追踪回路包围了哪些奇点及其绕行数。

复变函数可能是不定的多值函数：同一个复数的辐角可相差 $2\pi$ 的整数倍。

用留数定理计算实函数积分

例如

Copy LaTeX$$f(x)=\frac{1}{x^2+1}.$$

将其复化：

Copy LaTeX$$f(z)=\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z-i)(z+i)}.$$

两个极点为

Copy LaTeX$$z=i,z=-i.$$

取上半平面的半圆闭合回路 $C_R$ ，回路内部只有极点 $z=i$ ：

由留数定理：

Copy LaTeX$${\oint }_{C_R}f(z)dz=2\pi i\mathrm{Res}(f,i).$$

其中

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\mathrm{Res}(f,i)& =\underset{z\to i}{lim}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)}\\ & =\frac{1}{2i}.\end{array}$$

所以

Copy LaTeX$${\oint }_{C_R}f(z)dz=2\pi i\cdot \frac{1}{2i}=\pi .$$

另一方面，将闭合回路分成实轴线段和半圆弧：

Copy LaTeX$${\oint }_{C_R}f(z)dz={\int }_{-R}^R\frac{dx}{1+x^2}+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_R}\frac{dz}{z^2+1}.$$

当 $R\to \mathrm{\infty }$ 时，半圆弧积分趋于 $0$ ，故

Copy LaTeX$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{1+x^2}=\pi .$$

复数的辐角

$\mathrm{Arg}z$ 不能唯一确定；相差 $2\pi$ 整数倍的角表示同一个非零复数。若规定主值范围为 $[0,2\pi )$ ，可将主辐角记作 $\arg z$ 。

例如

Copy LaTeX$$z=2e^{i7\pi /4},|z|=2,\arg z=\frac{7\pi }{4}.$$

模为 $0$ 或讨论无穷远点时，辐角没有通常意义下的唯一定义。

[G: $\mathrm{\infty }$ 的方向]

G 补充

在普通复平面中，“$z\to \mathrm{\infty }$ ”只表示 $|z|\to \mathrm{\infty }$ ，可以沿任意方向发生，因此 $\mathrm{\infty }$ 本身没有固定辐角。扩充复平面把所有趋向无穷远的方向合并为同一个点 $\mathrm{\infty }$ ，这相当于 Riemann 球面的北极。若题目需要区分趋向无穷远的方向，应另外说明路径，例如 $z=r{e}^{i\theta }$ 且 $r\to \mathrm{\infty }$ 、$\theta$ 固定。

球坐标中的微分算符

用度规推导 $\mathrm{\nabla }$ 算子在球坐标下的形式。

梯度表示标量场沿空间某方向的变化率。球坐标中的角坐标需要先乘相应的尺度因子，转化为实际长度。

线元满足

Copy LaTeX$$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }.$$

球坐标 $(r,\theta ,\phi )$ 中的尺度因子为

Copy LaTeX$$h_r=1,h_{\theta }=r,h_{\phi }=r\sin \theta ,$$

因而度规为

Copy LaTeX$$(g_{\mu \nu })=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& r^2& 0\\ 0& 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right).$$

三个正交方向上的长度元为

Copy LaTeX$$d{\overrightarrow{s}}_r=dr{\overrightarrow{e}}_r,$$

Copy LaTeX$$d{\overrightarrow{s}}_{\theta }=rd\theta {\overrightarrow{e}}_{\theta },$$

Copy LaTeX$$d{\overrightarrow{s}}_{\phi }=r\sin \theta d\phi {\overrightarrow{e}}_{\phi }.$$

因此

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }& ={\overrightarrow{e}}_r\frac{\partial }{\partial s_r}+{\overrightarrow{e}}_{\theta }\frac{\partial }{\partial s_{\theta }}+{\overrightarrow{e}}_{\phi }\frac{\partial }{\partial s_{\phi }}\\ & ={\overrightarrow{e}}_r\frac{\partial }{\partial r}+{\overrightarrow{e}}_{\theta }\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }+{\overrightarrow{e}}_{\phi }\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \phi }.\end{array}$$

进而推导 Laplace 算符：

Copy LaTeX$${\mathrm{\nabla }}^2=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }.$$

[G: 补充]

G 补充

不能把球坐标中的 $\mathrm{\nabla }$ 直接像笛卡尔坐标那样形式相乘，因为球坐标基矢 ${\overrightarrow{e}}_r,{\overrightarrow{e}}_{\theta },{\overrightarrow{e}}_{\phi }$ 会随位置变化。对正交曲线坐标 $(q_1,q_2,q_3)$ ，尺度因子为 $(h_1,h_2,h_3)$ 时，矢量场 $\overrightarrow{A}=A_i{\overrightarrow{e}}_i$ 的散度为

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}=\frac{1}{h_1{h}_2{h}_3}[\frac{\partial }{\partial q_1}(h_2{h}_3{A}_1)+\frac{\partial }{\partial q_2}(h_3{h}_1{A}_2)+\frac{\partial }{\partial q_3}(h_1{h}_2{A}_3)].$$

对标量场 $f$ ，先写

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }f={\overrightarrow{e}}_r\frac{\partial f}{\partial r}+{\overrightarrow{e}}_{\theta }\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }+{\overrightarrow{e}}_{\phi }\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \phi },$$

再令 $\overrightarrow{A}=\mathrm{\nabla }f$ 并代入

Copy LaTeX$$h_r=1,h_{\theta }=r,h_{\phi }=r\sin \theta ,$$

得到

Copy LaTeX$$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}}}.$$

若 $f$ 具有球对称性，即只依赖 $r$ ，角向两项消失：

Copy LaTeX$${\mathrm{\nabla }}^{2}f(r)=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{df}{dr}\right).$$