电动力学学习提纲

电动力学

麦克斯韦方程组

真空中的微分形式

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}& =-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t},\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}& ={\mu }_0\overrightarrow{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t},\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}& =\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}& =0.\end{array}$$

结构：

• 电荷、电流激发电磁场
• 变化的磁场激发电场
• 变化的电场激发磁场
• 电场与磁场可以相互激发并形成电磁波

微分形式与积分形式

常用工具：

• Stokes 定理把旋度方程转化为环路积分
• Gauss 定理把散度方程转化为闭合曲面积分

例如：

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{J}$$

对应

Copy LaTeX$${\oint }_L\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\mu }_0{I}_{\mathrm{enc}}.$$

微分形式适合场连续且可微的区域；处理介质界面的跃变时，应从积分形式出发。

位移电流

稳恒电流满足

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}=0.$$

交变电流满足连续性方程

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}=-\frac{\partial \rho }{\partial t},$$

此时静磁场中的安培定律

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{J}$$

不能直接成立，因为恒等式

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F})\equiv 0$$

要求右侧散度也为零。

引入位移电流密度：

Copy LaTeX$${\overrightarrow{J}}_D={\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}.$$

于是

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot (\overrightarrow{J}+{\overrightarrow{J}}_D)=0,$$

并得到 Maxwell–Ampère 方程：

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0(\overrightarrow{J}+{\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}).$$

由真空 Maxwell 方程可得到电磁波方程，波速为

Copy LaTeX$$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}.$$

理解要点：位移电流项保证电荷守恒与安培定律相容，并允许变化的电场激发磁场。

洛伦兹力

连续电荷系统的力密度：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{f}=\rho \overrightarrow{E}+\overrightarrow{J}\times \overrightarrow{B}.$$

单个带电粒子的受力：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}+q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}.$$

注意：力密度公式本身不要求电流恒定。时变情形下，应保留 $\rho$ 、$\overrightarrow{J}$ 、$\overrightarrow{E}$ 、$\overrightarrow{B}$ 的时间依赖。

电磁介质

电极化与束缚电荷

极化强度：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{P}=\frac{\sum {\overrightarrow{p}}_i}{\mathrm{\Delta }V}.$$

束缚体电荷密度：

Copy LaTeX$${\rho }_p=-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{P}.$$

两介质分界面上的束缚面电荷密度：

Copy LaTeX$${\sigma }_p=-{\hat{e}}_n\cdot ({\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_1),$$

其中 ${\hat{e}}_n$ 从介质 1 指向介质 2。

均匀极化介质内部通常没有束缚体电荷；束缚电荷主要出现在极化变化处或界面上。

电位移矢量

定义：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{D}={\epsilon }_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}.$$

于是 Gauss 定律可只保留自由电荷：

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_f.$$

各向同性线性介质中：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{P}={\chi }_e{\epsilon }_0\overrightarrow{E},\overrightarrow{D}=\epsilon \overrightarrow{E}.$$

磁化与磁化电流

单个电流环的磁矩：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{m}=i\overrightarrow{a}.$$

磁化强度：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{M}=\frac{\sum {\overrightarrow{m}}_i}{\mathrm{\Delta }V}.$$

相邻分子电流在介质内部相互抵消，边界处留下净磁化电流。磁化电流密度满足

Copy LaTeX$${\overrightarrow{J}}_m=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{M}.$$

非铁磁性线性介质中：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{M}={\chi }_m\overrightarrow{H},\overrightarrow{B}=\mu \overrightarrow{H}.$$

极化电流

极化随时间变化产生极化电流：

Copy LaTeX$${\overrightarrow{J}}_p=\frac{\partial \overrightarrow{P}}{\partial t}.$$

介质中的 Maxwell 方程组

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}& =-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t},\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}& ={\overrightarrow{J}}_f+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t},\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}& ={\rho }_f,\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}& =0.\end{array}$$

线性介质还需要本构关系：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{D}=\epsilon \overrightarrow{E},\overrightarrow{B}=\mu \overrightarrow{H},\overrightarrow{J}=\sigma \overrightarrow{E}.$$

使用时先区分：

• ${\rho }_f$ 、${\overrightarrow{J}}_f$ ：自由电荷与自由电流
• ${\rho }_p$ 、${\overrightarrow{J}}_p$ 、${\overrightarrow{J}}_m$ ：极化或磁化产生的束缚源
• $\overrightarrow{E}$ 、$\overrightarrow{B}$ ：基本场量
• $\overrightarrow{D}$ 、$\overrightarrow{H}$ ：为处理介质而引入的辅助场量

边值关系

界面处场量可能跃变，应使用 Maxwell 方程组的积分形式和跨界面的极小高斯柱或长方环路。

法向分量

取从介质 1 指向介质 2 的法向 ${\hat{e}}_n$ ：

Copy LaTeX$$D_{2n}-D_{1n}={\sigma }_f,$$

Copy LaTeX$$B_{2n}-B_{1n}=0.$$

判断方法：

• 用跨界面的扁柱高斯面
• 柱高趋于零后，侧面积分消失
• $\overrightarrow{D}$ 的跃变由自由面电荷决定
• $\overrightarrow{B}$ 的法向分量连续

切向分量

用跨界面的狭长长方环路处理。若界面存在面电流线密度 $\overrightarrow{\alpha }$ ，则安培环路积分给出 $\overrightarrow{H}$ 的切向跃变；在与面电流方向及环路取向一致的标量写法中：

Copy LaTeX$$H_{2t}-H_{1t}=\alpha .$$

推导时要明确界面法向、环路方向和切向正方向，避免符号错误。

常见易错点

• 交变电流情形仍直接使用 $\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{J}$ ，遗漏位移电流项
• 混淆自由电荷与束缚电荷，导致 $\overrightarrow{D}$ 的 Gauss 定律右侧写错
• 把 $\overrightarrow{P}$ 、$\overrightarrow{M}$ 与 $\overrightarrow{D}$ 、$\overrightarrow{H}$ 当成同一类物理量
• 使用 $\overrightarrow{D}=\epsilon \overrightarrow{E}$ 、$\overrightarrow{B}=\mu \overrightarrow{H}$ 时忘记其线性介质条件
• 在界面上直接套微分形式，而不改用积分形式
• 写边值关系时未先规定法向和切向的正方向