数理方法学习提纲

数理方法

课程内容

• 复数计算
• 回路积分
• 留数计算
• 傅里叶变换与拉普拉斯变换
• 分离变量法
• 特殊函数

线性空间、内积与 Hilbert 空间

线性空间

设数域为 $K$ ，集合 $L$ 中定义了向量加法与数乘。若这些运算满足封闭性、交换律、结合律、分配律，并且零元、负元和数乘单位元存在，则 $L$ 是 $K$ 上的线性空间。

“向量”是满足这些运算规则的抽象元素，不限于几何箭头，也可以是矩阵、函数或波函数。

空间的维数依赖于所选数域。例如：

Copy LaTeX$${\dim }_{\mathbb{C}}\mathbb{C}=1,{\dim }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2.$$

内积

复内积常采用“对第二个变量线性”的约定：

Copy LaTeX$$⟨\phi ,a\chi ⟩=a⟨\phi ,\chi ⟩,⟨a\phi ,\chi ⟩=a^{\ast }⟨\phi ,\chi ⟩.$$

并满足：

• 共轭对称性： $⟨a,b⟩=⟨b,a{⟩}^{\ast }$
• 正定性： $⟨\phi ,\phi ⟩\ge 0$ ，且仅零向量取等号

内积可以定义范数、正交关系与投影：

Copy LaTeX$$\Vert \psi \Vert =\sqrt{⟨\psi ,\psi ⟩},\hat{\psi }=\frac{\psi }{\Vert \psi \Vert }.$$

在正交归一基 $\{{\overrightarrow{e}}_i\}$ 下：

Copy LaTeX$$⟨\psi ,\phi ⟩={\psi }_i^{\ast }{\phi }_j{\delta }_{ij}={\psi }_i^{\ast }{\phi }_i.$$

空间之间的关系

结构层级为：

Copy LaTeX$$\text{Hilbert 空间}\subset \text{内积空间}\subset \text{线性空间}.$$

• 线性空间：定义加法和数乘
• 内积空间：进一步定义长度、夹角、正交和投影
• Hilbert 空间：进一步要求由内积诱导的距离是完备的

Hilbert 空间不一定是无限维；有限维内积空间自动完备。量子力学通常使用复 Hilbert 空间，波函数空间往往是无限维的。

量子态 $\phi$ 与 $\psi$ 的内积

Copy LaTeX$$⟨\phi ,\psi ⟩=\int {\phi }^{\ast }(x)\psi (x)dx$$

表示概率振幅；两态归一化后，其模平方给出相应的测量概率。若内积为零，则两态正交。

线性算符

线性算符满足：

Copy LaTeX$$\hat{A}(\phi +\psi )=\hat{A}\phi +\hat{A}\psi ,\hat{A}(a\phi )=a\hat{A}\phi .$$

矩阵变换、旋转和微分算符

Copy LaTeX$$D_x=\frac{d}{dx}$$

都是常见例子。

对易子

Copy LaTeX$$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}.$$

• $[\hat{A},\hat{B}]=0$ ：两个算符对易，作用顺序不影响结果
• $[\hat{A},\hat{B}]\ne 0$ ：两个算符不对易；在量子力学中，这与对应物理量的不确定关系有关

例如：

Copy LaTeX$$[D_x,\hat{x}]=1.$$

伴随、厄米与么正算符

矩阵算符的伴随为

Copy LaTeX$${\hat{A}}^{†}={\hat{A}}^{T\ast }.$$

厄米算符满足

Copy LaTeX$${\hat{A}}^{†}=\hat{A},$$

其本征值为实数，适合表示量子力学中的可观测量。

么正算符满足

Copy LaTeX$${\hat{A}}^{†}\hat{A}=I,$$

因此保持内积和范数；在量子演化中，这对应概率守恒。

本征值与本征向量

本征方程为

Copy LaTeX$$\hat{A}|\phi ⟩=\lambda |\phi ⟩.$$

有限维矩阵中，非零本征向量存在的条件是

Copy LaTeX$$det(\hat{A}-\lambda I)=0.$$

对可观测量而言，本征值对应可能的测量结果；处于本征态时，测量该物理量可得到确定的对应本征值。

Fourier 级数

适用条件与展开形式

周期函数满足 Dirichlet 条件时，可以按正交三角函数系展开。对周期为 $2\pi$ 的函数：

Copy LaTeX$$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k\cos kx+b_k\sin kx).$$

系数由函数在对应基向量方向上的投影给出：

Copy LaTeX$$a_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos kxdx,b_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin kxdx.$$

这里 $\sin kx$ 、$\cos kx$ 的模长为 $\sqrt{\pi }$ ；系数中的 $1/\pi$ 来自对基向量归一化。

奇偶性简化

• $f$ 为奇函数：$a_k=0$ ，只保留正弦项
• $f$ 为偶函数：$b_k=0$ ，只保留余弦项

奇函数还可利用对称性写成

Copy LaTeX$$b_k=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin kxdx.$$

判断策略：求系数前先检查奇偶性，可以直接消去一半积分。

一般周期

周期为 $2l$ 时：

Copy LaTeX$$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k\cos \frac{\pi kx}{l}+b_k\sin \frac{\pi kx}{l}),$$

Copy LaTeX$$a_k=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{\pi kx}{l}dx,b_k=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \frac{\pi kx}{l}dx.$$

复指数形式

由 Euler 公式

Copy LaTeX$$e^{imx}=\cos mx+i\sin mx$$

以及正交关系

Copy LaTeX$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{i(m-n)x}dx={\delta }_{m,n},$$

$\{e^{ikx}{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$ 也构成 Fourier 基。展开与系数为

Copy LaTeX$$f(x)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{c}_k{e}^{ikx},c_k=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx.$$

系数公式使用 $e^{-ikx}$ ，是因为复内积要对基向量 $e^{ikx}$ 取共轭：

Copy LaTeX$$\overline{e^{ikx}}=e^{-ikx}.$$

张量与四维记法

电磁场张量示例

由四维势定义电磁场张量：

Copy LaTeX$$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }.$$

$F_{\mu \nu }$ 是二阶张量；更高阶张量可记作

Copy LaTeX$$T_{\alpha \beta \cdots }^{\mu \nu \cdots }.$$

张量记法可以把方程组写成紧凑的四维形式。

四维坐标与梯度

四维坐标记作

Copy LaTeX$$x^{\mu }=(ct,\overrightarrow{x}).$$

四维梯度记作

Copy LaTeX$${\partial }_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=({\partial }_t,\mathrm{\nabla }).$$

四维势记作

Copy LaTeX$$A_{\mu }=(\varphi ,-\overrightarrow{A}),$$

其中 $\varphi$ 为标势，$\overrightarrow{A}$ 为矢势。

三维欧氏向量空间

三维欧氏空间 ${\mathbb{R}}^3$ 可取原点及一组正交基

Copy LaTeX$$\{{\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,{\overrightarrow{e}}_3\}.$$

矢量本身不依赖于所选坐标系。基本运算包括：

• 加法与数乘
• 标积与矢积

分量与求和记法

矢量可按基展开：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{A}=\sum _i{A}_i{\overrightarrow{e}}_i.$$

爱因斯坦求和约定用于简化重复指标的求和书写。

规则：同一代数项中，一个哑指标只能重复两次。不同求和应使用不同指标。例如

Copy LaTeX$$A_i{B}_j{C}_i{D}_j=\sum _i{A}_i{C}_i\sum _j{B}_j{D}_j.$$

Kronecker delta

Copy LaTeX$${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}0,& i\ne j,\\ 1,& i=j.\end{array}$$

在正交基中：

Copy LaTeX$${\overrightarrow{e}}_i\cdot {\overrightarrow{e}}_j={\delta }_{ij}.$$

常用缩并：

Copy LaTeX$$A_i{\delta }_{ij}=A_j,\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=A_i{B}_j{\delta }_{ij}=A_i{B}_i.$$

Levi-Civita 符号

三维空间中：

Copy LaTeX$${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{ll}1,& (i,j,k)\text{ 为顺序排列},\\ -1,& (i,j,k)\text{ 为逆序排列},\\ 0,& i,j,k\text{ 中有重复}.\end{array}$$

它可用于表示叉积和三阶行列式：

Copy LaTeX$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|={\epsilon }_{ijk}{a}_i{b}_j{c}_k.$$

基矢叉积可统一写成

Copy LaTeX$${\overrightarrow{e}}_i\times {\overrightarrow{e}}_j={\epsilon }_{ijk}{\overrightarrow{e}}_k.$$

常用缩并恒等式：

Copy LaTeX$${\epsilon }_{kij}{\epsilon }_{klm}={\delta }_{il}{\delta }_{jm}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl}.$$

三重混合积为

Copy LaTeX$$(\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})\cdot \overrightarrow{C}={\epsilon }_{ijk}{C}_i{A}_j{B}_k,$$

几何上表示由三个矢量张成的有向平行六面体体积。

场与矢量微分算符

场与 Hamilton 量

场是在每个空间点赋予一个量的函数：

• 标量场：$\varphi (\overrightarrow{r})$ ，如温度、电势；
• 矢量场：$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})$ ，如电场、速度场。

Hamilton 量是相空间上的标量函数：

Copy LaTeX$$H=H(q_1,\dots ,q_N,p_1,\dots ,p_N,t).$$

它给每个相空间状态赋予能量，并通过

Copy LaTeX$${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},{\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}$$

生成系统的时间演化。$N$ 个自由度通常对应 $2N$ 维相空间。

笛卡尔坐标中的 $\mathrm{\nabla }$

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }={\overrightarrow{e}}_i{\partial }_i={\overrightarrow{e}}_x{\partial }_x+{\overrightarrow{e}}_y{\partial }_y+{\overrightarrow{e}}_z{\partial }_z.$$

对标量场 $\varphi$ 和矢量场 $\overrightarrow{A}$ ：

Copy LaTeX$$\mathrm{grad}\varphi =\mathrm{\nabla }\varphi ,\mathrm{div}\overrightarrow{A}=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}={\partial }_i{A}_i,$$

Copy LaTeX$$\mathrm{curl}\overrightarrow{A}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}={\epsilon }_{ijk}{\overrightarrow{e}}_i{\partial }_j{A}_k.$$

直观判断：

• 梯度：标量场变化最快的方向；
• 散度：局部源或汇的强弱；
• 旋度：局部环流或旋转趋势。

利用 Levi-Civita 缩并可得常用恒等式：

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A})-{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{A}.$$

笛卡尔坐标中的标量 Laplace 算符为

Copy LaTeX$${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}.$$

球坐标中的梯度与 Laplace 算符

球坐标 $(r,\theta ,\phi )$ 的尺度因子为

Copy LaTeX$$h_r=1,h_{\theta }=r,h_{\phi }=r\sin \theta ,$$

度规为

Copy LaTeX$$(g_{\mu \nu })=\mathrm{diag}(1,r^2,r^2{\sin }^2\theta ).$$

因此

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }f={\overrightarrow{e}}_r\frac{\partial f}{\partial r}+{\overrightarrow{e}}_{\theta }\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }+{\overrightarrow{e}}_{\phi }\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \phi },$$

Copy LaTeX$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}.$$

易错点：球坐标基矢随位置变化，不能把 $\mathrm{\nabla }$ 当作基矢恒定的普通代数式直接平方。应使用正交曲线坐标的尺度因子或度规推导。

若 $f=f(r)$ 具有球对称性：

Copy LaTeX$${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{df}{dr}\right).$$

复变函数与留数

回路、奇点与拓扑

复积分回路可在不穿过奇点的前提下连续变形，积分值不变。使用留数定理时，关键是判断：

• 回路包围哪些孤立奇点；
• 每个奇点的绕行数；
• 变形过程中是否跨过奇点。

Laurent 展开

孤立奇点 $z_0$ 附近可写成

Copy LaTeX$$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n.$$

• $n\ge 0$ ：正则部分
• $n<0$ ：主部
• 指标覆盖全部整数不表示所有系数都非零

系数公式：

Copy LaTeX$$a_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{n+1}}d\zeta .$$

其中 $C$ 位于展开成立的环域内，并绕 $z_0$ 一周。

留数

$f$ 在 $z_0$ 处的留数是 Laurent 展开中 $(z-z_0{)}^{-1}$ 的系数：

Copy LaTeX$$\mathrm{Res}(f,z_0)=a_{-1}.$$

若回路只包围 $z_0$ ，且绕行数为 $m$ ：

Copy LaTeX$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi im\mathrm{Res}(f,z_0).$$

留数定理

若 $C$ 内有孤立奇点 $z_1,\dots ,z_k$ ，其余区域解析，则

Copy LaTeX$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{j=1}^k\mathrm{Res}(f,z_j).$$

使用步骤：

1. 找出回路内部的全部孤立奇点。
2. 分别求各奇点的留数。
3. 求和后乘 $2\pi i$ ；若绕行数不是 1，还要计入绕行数。

例：$1/z^2$ 在 $z=0$ 的 Laurent 展开没有 $z^{-1}$ 项，因此

Copy LaTeX$${\oint }_C\frac{1}{z^2}dz=0.$$

用半圆回路计算实积分

求

Copy LaTeX$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{1+x^2},$$

可取复函数

Copy LaTeX$$f(z)=\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{(z-i)(z+i)}$$

并在上半平面闭合回路。回路内只有 $z=i$ ，且

Copy LaTeX$$\mathrm{Res}(f,i)=\frac{1}{2i}.$$

半圆弧积分在 $R\to \mathrm{\infty }$ 时趋于 $0$ ，所以

Copy LaTeX$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{1+x^2}=2\pi i\mathrm{Res}(f,i)=\pi .$$

方法判断：用留数法求实积分时，需要选择使弧线积分消失的闭合方向，并只计算该回路内部的极点。

辐角与无穷远点

非零复数的辐角具有多值性：

Copy LaTeX$$\mathrm{Arg}z=\arg z+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

必须先声明主辐角的取值范围，例如 $[0,2\pi )$ 或 $(-\pi ,\pi ]$ 。$z=0$ 没有定义辐角；在扩充复平面中，$\mathrm{\infty }$ 是单独的一个点，也没有固定方向。若要保留趋向无穷远的方向，应另行指定路径，如 $z=r{e}^{i\theta }$ 、$r\to \mathrm{\infty }$ 。

复指数、复对数与多值性

Copy LaTeX$$e^z=e^x(\cos y+i\sin y),z=x+iy.$$

Copy LaTeX$$\log z=\ln |z|+i(\arg z+2k\pi ),k\in \mathbb{Z}.$$

复对数必须选择分支才能成为单值函数。

复可导与 Cauchy–Riemann 条件

设 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 。若 $f$ 可导，则

Copy LaTeX$$u_x=v_y,u_y=-v_x.$$

若一阶偏导在邻域连续，这些条件也是复可导的充分条件。只比较实轴和虚轴两个方向，只能得到必要条件。

极坐标形式：

Copy LaTeX$$u_{\rho }=\frac{1}{\rho }{v}_{\phi },\frac{1}{\rho }{u}_{\phi }=-v_{\rho }.$$

区域与连通性

• 区域：开且连通的点集
• 单连通区域：任意闭曲线可在区域内连续缩为一点
• 多连通区域：存在洞

Grassmann 数

Copy LaTeX$${\eta }_i{\eta }_j=-{\eta }_j{\eta }_i,{\eta }_i^2=0.$$

Berezin 积分：

Copy LaTeX$$\int d\eta =0,\int \eta d\eta =1.$$