2026-08-31 理论力学：参考系与坐标变换

理论力学

物理学的发展

flowchart LR
    A[第一次革命<br/>Newton 力学] --> B[它的应用<br/>理论、电磁、统计……]
    B --> C[第二次革命<br/>相对论、量子]
    C --> D[它的应用<br/>凝聚态……]

力学发展

flowchart LR
    A[矢量<br/>力] --> B[分析<br/>约束]
    B --> C[变分原理]
    C --> D[连续介质<br/>流体与弹性]
    D --> E[非线性、混沌]
    E --> F[计算数学交叉<br/>实验]

能量；[?]；1893 $\to$ 现代物理。[?]

数学与物理

数学是物理的语言——伽利略。

数学是物理的研究方法之一（mathematical reasoning）：一张纸、数学模式。[?]

杨振宁的双[?]模式：体系、[?]问题。[G]

数学是物理的一部分（理想实验）——阿基米德。[?]

物理学里引入数学新概念。

询问一维[?]概念。[G]

课程内容

Kinetics & dynamics。

Copy LaTeX$$F=ma$$

$\to$ 约束 $\to$ 刚度 $\to$ 汉密尔顿量 $\to$ 找入射性求解（拉格朗日方程、哈密顿方程）。[?]

Chap 1. 绪论

§1. 坐标变换

位置依赖参考系；不同参考系下位置不同，对运动的描述也不同。

为描述位置，建立坐标系，使用位置 $\overrightarrow{r}$ 的坐标：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}=x{\overrightarrow{e}}_x+y{\overrightarrow{e}}_y.$$

描述运动：

Copy LaTeX$$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\end{array}$$

记录描述运动的状态。

Copy LaTeX$$y=y(x)$$

为轨迹。

速度：

Copy LaTeX$${\overrightarrow{v}}_a=\dot{x}{\overrightarrow{e}}_x+\dot{y}{\overrightarrow{e}}_y,$$

直角系中 ${\overrightarrow{e}}_x$ 、${\overrightarrow{e}}_y$ 的导数为 $0$ 。

加速度：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{a}=\ddot{x}{\overrightarrow{e}}_x+\ddot{y}{\overrightarrow{e}}_y.$$

变换

直角坐标 $(x,y)$ $\to$ 极坐标 $(r,\phi )$ ：

Copy LaTeX$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \phi ,\\ y=r\sin \phi ,\end{array}r\in [0,+\mathrm{\infty }),\phi \in [0,2\pi ).$$

逆变换：

Copy LaTeX$$\phi ={\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$$

（需区分四象限。）

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}=x{\overrightarrow{e}}_x+y{\overrightarrow{e}}_y⟺\overrightarrow{r}=r{\overrightarrow{e}}_r.$$

其中

Copy LaTeX$$\{{\overrightarrow{e}}_r,{\overrightarrow{e}}_{\phi }\}$$

会变化（极坐标特殊之处）。