量子力学学习提纲

量子力学

Stern–Gerlach 实验

磁矩在非均匀磁场中的受力

磁矩与外磁场的相互作用能为

Copy LaTeX$$U=-\overrightarrow{\mu }\cdot \overrightarrow{B}.$$

若磁场主要沿 $z$ 方向变化，则

Copy LaTeX$$F_z=-\frac{\partial U}{\partial z}={\mu }_z\frac{\partial B_z}{\partial z}.$$

因此，非均匀磁场可把具有不同 ${\mu }_z$ 的原子束沿 $z$ 方向分开。

使用条件：必须有磁场梯度；均匀磁场只产生力矩，不能按 ${\mu }_z$ 分束。

空间量子化

经典预期中，磁矩投影可在连续区间内取值，原子束应连续展开；Stern–Gerlach 实验却观察到两个离散斑点。

对自旋 $1/2$ 粒子，沿任一选定轴测量自旋，只会得到

Copy LaTeX$$S_n=+\frac{\hslash }{2}\text{或}{S}_n=-\frac{\hslash }{2}.$$

这体现自旋角动量投影的量子化。

连续测量

• 已筛选出的 $S_z^{+}$ 束再次测量 $S_z$ ：仍以 $100\mathrm{\%}$ 得到 $S_z^{+}$ 。
• 已筛选出的 $S_z^{+}$ 束改测 $S_x$ ：$S_x^{+}$ 与 $S_x^{-}$ 各占 $50\mathrm{\%}$ 。
• 测得 $S_x^{+}$ 后再测 $S_z$ ：$S_z^{+}$ 与 $S_z^{-}$ 又各占 $50\mathrm{\%}$ 。

判断：同一分量的立即重复测量保持结果；中间插入不相容分量的测量，会破坏原分量的确定信息。

自旋态的矢量表示

$z$ 基底与 $x$ 基底

$|S_z;+⟩$ 与 $|S_z;-⟩$ 可作为二维复矢量空间的一组基底。

Copy LaTeX$$|S_x;+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|S_z;+⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|S_z;-⟩,$$

Copy LaTeX$$|S_x;-⟩=-\frac{1}{\sqrt{2}}|S_z;+⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|S_z;-⟩.$$

由展开系数的模平方可得，在 $S_x^{\pm }$ 态中测量 $S_z$ 时两个结果的概率均为 $1/2$ 。

$y$ 基底与复数系数

Copy LaTeX$$|S_y;\pm ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|S_z;+⟩\pm \frac{i}{\sqrt{2}}|S_z;-⟩.$$

$y$ 方向自旋态需要相对相位 $\pm i$ ，因此仅用实二维矢量不足，必须使用复矢量空间。

与光偏振的类比

• $S_z^{\pm }$ 可类比一对正交线偏振态。
• $S_x^{\pm }$ 可类比旋转 ${45}^{\circ }$ 后的一对正交线偏振态。
• $S_y^{\pm }$ 可类比左、右圆偏振态。

类比重点：中间加入不同方向的偏振器或自旋测量，会改变后续测量的可能结果。