2026-09-14 理论力学：Lorentz 变换、时间膨胀与长度收缩

经典时空观与狭义相对论：解释性整理

整理说明：按本次要求，在完整涵盖 0914 笔记内容的基础上补全概念、公式条件和推导。标为“AI 补充”“AI 更正”及“G 补充”的部分是整理时加入的说明；不确定的原字迹或图意保留 [? 推测：…]。这是一份解释性提取稿，非逐字转录。课程日期按目录记为 2026-09-14，图片拍摄日期为 2026-09-21。

§1 经典时空观：度规、事件与相对性原理

度规与线元

原笔记先复习一般坐标下的线元：

Copy LaTeX$$d{s}^2=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }=g_{11}(d{x}^1{)}^2+g_{12}d{x}^{1}d{x}^2+g_{21}d{x}^{2}d{x}^1+g_{22}(d{x}^2{)}^2.$$

这里重复指标表示求和，$g_{\mu \nu }$ 是度规分量。在二维欧氏平面的极坐标中，$x^1=r,x^2=\phi$ ，有

Copy LaTeX$$d{\overrightarrow{r}}^2=d{r}^2+r^{2}d{\phi }^2,(g_{ij})=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& r^2\end{array}\right).$$

AI 补充说明：$d{\overrightarrow{r}}^2$ 表示位移矢量与自身的点积，而 $d{r}^2$ 只是径向坐标增量的平方。此处的 $d{s}^2$ 是空间长度平方；后文相对论中的同名符号指时空间隔，空间项带负号，不能混用。

[G: 逆变和协变]

Copy LaTeX$$A^{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\nu }}{A}^{\nu },A_{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{A}_{\nu }.$$

[G]

G 补充

上指标分量称为逆变分量，按照坐标增量的变换方式变化。例如由链式法则，$d{x}^{{\mu }^{\prime }}=(\partial x^{{\mu }^{\prime }}/\partial x^{\nu })d{x}^{\nu }$ 。下指标分量称为协变分量，按照逆变换的 Jacobian 变化。例如标量函数的微分 $df=(\partial f/\partial x^{\mu })d{x}^{\mu }$ 必须不变，所以梯度的下指标分量要与 $d{x}^{\mu }$ 反向配合。

这样就有 $A_{{\mu }^{\prime }}{B}^{{\mu }^{\prime }}=A_{\mu }{B}^{\mu }$ ：分量随坐标改变，缩并结果不变。度规把两类分量联系起来：$A_{\mu }=g_{\mu \nu }{A}^{\nu }$ 。在直角欧氏坐标中两者数值常相同；在极坐标中 $A_{\phi }=r^2{A}^{\phi }$ ，不能直接当成相同的数。

1. 相对性原理

物理规律在不同惯性系中具有相同形式。原笔记用“牛顿定律成立”描述惯性系。

AI 补充说明：在经典力学中，可用自由粒子作匀速直线运动的参考系界定惯性系。相对性原理要求各惯性系地位平等，并不意味着同一事件的坐标数值相同。

某时某地质点的时空坐标对应一个事件，可用 $(t,x,y,z)$ 表示。例：一个粒子在某时出现在某地。坐标依赖参考系，因此同一事件有

Copy LaTeX$$K:(t,x,y,z)⟷K^{\prime }:(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }).$$

相比单个坐标，常常更关注两个事件之间的差：

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }t=t_2-t_1,\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1.$$

若把事件 $A$ 取作时空原点，则事件 $B$ 的坐标就是这组差值。

2. 经典时空观的第一条假定

同一对事件的时间间隔是绝对的：

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\mathrm{\Delta }t.$$

不同参考系可以选不同计时零点，但对同一对事件经过多久的判断相同。这是经典时空观的假定，后面将被狭义相对论修正。

经典时空观的第二条假定与速度合成

空间位移依赖参考系，一般 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}\ne \mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}^{\prime }$ 。原笔记强调：对同时发生的两个事件，经典变换保持空间距离。

AI 补充说明：若两系坐标轴平行，$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}^{\prime }+\overrightarrow{v}\mathrm{\Delta }t$ 。因此 $\mathrm{\Delta }t=0$ 时两者相等；若另有坐标轴旋转，矢量的分量不同，但长度相同。原笔记的“仅当同时才距离相同”应理解为：同时性保证任意一对事件的距离都不变；个别不同时事件也可能碰巧具有相同距离。

例：火车上的人相隔一天出现在车厢同一位置，在车厢系中的位移为零，在地面系中却已随车移动。

设 $K^{\prime }$ 相对 $K$ 以恒定速度 $\overrightarrow{v}$ 平移。$\overrightarrow{R}$ 是 $K^{\prime }$ 原点相对 $K$ 原点的位置，同一质点满足

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{R}+{\overrightarrow{r}}^{\prime },\overrightarrow{R}=\overrightarrow{v}t$$

（取 $t=0$ 时两原点重合）。

利用 $t=t^{\prime }$ ，对时间求导：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{u}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{d\overrightarrow{R}}{dt}+\frac{d{\overrightarrow{r}}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}=\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{u}}^{\prime }.$$

AI 补充说明：原笔记用多个 $v$ 表示不同速度。这里统一用 $\overrightarrow{v}$ 表示参考系间相对速度，用 $\overrightarrow{u},{\overrightarrow{u}}^{\prime }$ 表示粒子速度，避免混淆。

绝对时空观允许的变换：平移

整体改变时间和空间原点：

Copy LaTeX$$t⟼t+\delta ,\overrightarrow{r}⟼\overrightarrow{r}+\overrightarrow{ϵ}.$$

对同一对事件，两次加上的常数相消，所以 $\mathrm{\Delta }t,\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ 不变。时间平移有一个连续参数，空间平移有三个，共四个。

物理定律的平移不变性体现时空均匀性；例如牛顿运动方程的形式不因坐标原点改变而改变。

[G: 举例]

G 补充：把同一运动的计时从“12:00 为零”改成“12:01 为零”，只改变各时刻的数字，不改变时间差和加速度。把空间原点从教室门口移到窗边，同一轨迹的坐标整体改变，但速度、加速度不变。这里说的是坐标描述变化；若实际把实验搬到不同外场中，不能据此断言实验结果不变。

所有平移变换构成一个群。[G]

G 补充：以 $(\delta ,\overrightarrow{ϵ})$ 表示一次平移。两次平移复合等于参数相加，仍是平移；复合满足结合律；$(0,\overrightarrow{0})$ 是恒等变换；$(-\delta ,-\overrightarrow{ϵ})$ 是逆变换。平移的先后次序不影响结果，因此这是交换群。

空间转动与独立参数

平面内将矢量主动逆时针旋转 $\theta$ ：

Copy LaTeX$${\overrightarrow{r}}^{\prime }=R(\theta )\overrightarrow{r},R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right).$$

于是

Copy LaTeX$$(1,0)\mapsto (\cos \theta ,\sin \theta ),(0,1)\mapsto (-\sin \theta ,\cos \theta ).$$

AI 补充说明：这是固定坐标轴、旋转矢量的约定。如果固定矢量而把坐标轴逆时针旋转 $\theta$ ，分量要乘 $R(-\theta )$ 。这两种操作的正负号相反。

二维平面旋转只有一个角度参数；在三维中可看作绕垂直于该平面的轴旋转。三维旋转有三个独立参数，可对应 $xy,yz,zx$ 三个坐标平面内的转动。

原笔记写出

Copy LaTeX$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})=3,(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=6.$$

[G: [? 推测：为何相同转轴数？四维是又何关系？]]

G 补充

这处问题字迹不清，结合旁边的组合数，按“旋转参数为什么这样计数、四维如何理解”解释。$n$ 维空间中任选两个坐标方向确定一个坐标平面，因此有 $n(n-1)/2$ 个独立平面旋转参数。

更直接地，正交矩阵满足 $R^{T}R=I$ 。令微小旋转 $R=I+\mathrm{\Omega }$ ，忽略二阶项，得到 ${\mathrm{\Omega }}^T=-\mathrm{\Omega }$ 。反对称矩阵对角元为零，上下三角互相决定，独立元素恰有 $n(n-1)/2$ 个。

“平面旋转等价于绕一根轴旋转”是三维的特殊直观。在四维欧氏空间中，转动平面的正交补是二维平面，并非一根轴。若说的是四维闵可夫斯基时空，六个连续 Lorentz 参数分成三个空间旋转和三个时空平面内的 boost；后者不是普通欧氏旋转。

换到匀速运动参考系：Galilean boost

令 $K^{\prime }$ 相对 $K$ 的速度为 $\overrightarrow{v}$ ，两系坐标轴平行，且 $t=t^{\prime }=0$ 时原点重合：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}^{\prime }+\overrightarrow{v}{t}^{\prime },t=t^{\prime }.$$

相对速度的三个分量提供三个参数。与四个平移参数、三个旋转参数合起来，三维 Galilean 群有十个连续参数。

由 $\overrightarrow{u}={\overrightarrow{u}}^{\prime }+\overrightarrow{v}$ 及 $\overrightarrow{v}$ 为常量：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}=m\frac{d\overrightarrow{u}}{dt}=m\frac{d({\overrightarrow{u}}^{\prime }+\overrightarrow{v})}{d{t}^{\prime }}=m\frac{d{\overrightarrow{u}}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}=m{\overrightarrow{a}}^{\prime }.$$

因此，在经典力学相应的力变换规则下，${\overrightarrow{F}}^{\prime }=m{\overrightarrow{a}}^{\prime }$ 与 $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ 形式相同，称为 Galilean 协变。

AI 补充说明：“方程协变”说的是方程形式保持一致；它与前面的“协变分量”有关但不是同一个概念。这里也不能据此推断所有物理理论都服从 Galilean 变换，光速不变正是后面必须更换时空变换的原因。

§2 狭义相对论时空观

基本原理：

1. 相对性原理：物理规律在所有惯性系中形式相同。
2. 光速不变：真空光速 $c$ 在所有惯性系中相同。

同时性的相对性：车上的光信号

原图中，$A$ 随车运动，$B$ 位于地面，车以速度 $v$ 向右行驶；图中标有 signal 和 detector。笔记记录 $A:\mathrm{\Delta }t=0$ ，$B:\mathrm{\Delta }t\ne 0$ 。

[? 推测：图意为车厢中央光源向前后两个探测器发光，比较两端接收事件的同时性；原图未清楚画出完整光路。]

AI 补充说明：按这一图意，车厢系中两探测器距光源等远，所以前后接收事件同时。在地面系中，光速仍是 $c$ ，但前端迎着行进方向远离出发点，后端向出发点接近，故两次接收不同时。“同时性”比较的是两个分离事件的坐标时间，而不是某人眼睛是否同时收到来自它们的光。

新的不变量：时空间隔

相对论把时间和空间组合起来：

Copy LaTeX$$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{\overrightarrow{r}}^2.$$

对有限的两个事件，在惯性直角坐标中写成

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }{s}^2=c^2(t_2-t_1{)}^2-|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1{|}^2=c^2\mathrm{\Delta }{t}^2-|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2.$$

AI 补充说明：原笔记混用了 $d$ 与 $\mathrm{\Delta }$ 。下文用 $d$ 表示无穷小增量，用 $\mathrm{\Delta }$ 表示有限的两个事件之差。$\mathrm{\Delta }{s}^2$ 可以为负，记号中的“平方”不代表它必定非负。

如果两事件分别是真空中光信号的发射与沿直线传播后的接收，则

Copy LaTeX$$\frac{|{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1|}{t_2-t_1}=c⟹\mathrm{\Delta }{s}^2=0.$$

光速不变意味着在 $K^{\prime }$ 系中也有

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }{s}^{\prime 2}=c^2\mathrm{\Delta }{t}^{\prime 2}-|\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^2=0.$$

对速度小于 $c$ 的有质量粒子，沿其世界线的相邻事件满足

Copy LaTeX$$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{\overrightarrow{r}}^2=(c^2-u^2)d{t}^2>0.$$

原笔记追问：“是否不变？”

AI 补充说明：对光已有“零间隔变换后仍为零”的结论，但这还不足以直接推出所有非零间隔的数值都不变。下一段补上这一步所需的线性、相对性和各向同性条件。

从光锥不变到时空间隔不变

原笔记要论证 $d{s}^2$ 与 $d{s}^{\prime 2}$ 的关系，先设

Copy LaTeX$$d{s}^2=a(\overrightarrow{v})d{s}^{\prime 2}.$$

时空均匀性意味着系数不依赖事件所处的 $t,\overrightarrow{r}$ ；空间各向同性意味着它只依赖相对速率 $v=|\overrightarrow{v}|$ ，而不依赖速度方向。

原笔记还有一句关于“小量、零相同、不能有其他项”的说明：[? 推测：想由线性变换及相同零点推出两个二次型只差一个比例因子。]

AI 补充推导：为什么可以先写成比例关系？

这一步不能仅凭“$ds$ 很小”得到。惯性系之间的变换在时空均匀性及通常的光滑性条件下为仿射变换；对坐标差或微分，它是线性的。因此把 $d{s}^{\prime 2}$ 写成未加撇坐标的函数，仍是二次型。

在 $1+1$ 维中，令 $T=cdt,X=dx$ ，写 $d{s}^{\prime 2}=p{T}^2+2qTX+r{X}^2$ 。两条光线 $X=\pm T$ 都必须给出零，所以 $p+2q+r=0$ 、$p-2q+r=0$ ，得到 $q=0,r=-p$ ，即 $d{s}^{\prime 2}=p(T^2-X^2)$ 。

在 $3+1$ 维中，把任意方向的光线写成 $d\overrightarrow{r}=cdt\overrightarrow{n}$ ，其中 $|\overrightarrow{n}|=1$ 。要求所有这样的方向都为零，会消去时间—空间交叉项，并使空间二次型与单位矩阵成比例，同样得到两个间隔只差一个系数。

原笔记的三参考系思路

取三个惯性系 $K,K_1,K_2$ ：

Copy LaTeX$$d{s}^2=a(v_1)d{s}_1^2,d{s}^2=a(v_2)d{s}_2^2,d{s}_1^2=a(v_{12})d{s}_2^2.$$

所以

Copy LaTeX$$a(v_1)a(v_{12})=a(v_2),a(v_{12})=\frac{a(v_2)}{a(v_1)}.$$

原笔记指出：右边不依赖两速度之间的夹角 $\theta$ ，而 $v_{12}$ 一般依赖 $v_1,v_2,\theta$ ，据此认为 $a$ 应为常数。

AI 补充说明：这表达了“比例因子必须与参考系复合一致”的思路，但从夹角依赖直接跳到所有速度下 $a$ 都相同，还省略了可达速度范围等论证。也不应在尚未得到相对论速度合成前直接套用经典相对速度。下面用逆变换补齐同一结论，步骤更明确。

交换两个参考系后，相对速度方向反向。相对性原理给出同一函数，而各向同性给出 $a(-\overrightarrow{v})=a(\overrightarrow{v})$ ，因此

Copy LaTeX$$d{s}^2=a(v)d{s}^{\prime 2},d{s}^{\prime 2}=a(v)d{s}^2⟹a(v{)}^2=1.$$

选择与恒等变换连续相连的惯性系变换，$a(0)=1$ ；变换可逆且连续，系数不能从正变负而穿过零，故

Copy LaTeX$$a(v)=1,\boxed{{\displaystyle d{s}^{\prime 2}=d{s}^2}}.$$

类光与类时

• $d{s}^2=0$ ：类光间隔，对应光信号连接的两个事件；原笔记标注“类光”“两事件”。
• $d{s}^2>0$ ：类时间隔，可以由亚光速粒子的运动连接。

AI 更正：原笔记把“类时”写成“两事件有因果关系”。准确说法是允许存在因果联系，并不能只凭间隔符号判定两件实际发生的事情互为因果。

类空间隔与因果性

Copy LaTeX$$d{s}^2<0$$

称为类空间隔。一个特例是 $dt=0,d\overrightarrow{r}\ne \overrightarrow{0}$ ：同一惯性系中同时、异地发生的两个事件。

对有限事件差，类空间隔满足 $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|>c|\mathrm{\Delta }t|$ 。如果要求一个事件直接影响另一个，就需要超过 $c$ 的信号，因此它们之间不能有不超过光速的因果信号。

原笔记：“在不同参考系中，$d{s}^2$ 不变 $\Rightarrow$ 因果性满足。”

AI 补充说明：间隔不变首先保证所有惯性系一致地区分类时、类光、类空。若进一步限于保持时间定向的 Lorentz 变换，则类时或类光事件的先后顺序也保持不变，因而不会把原因变到结果之后。单靠 $d{s}^2$ 不变并不能排除时间反演；后者会翻转时间方向。

哪些经典变换保持相对论间隔？

1. 时空平移：$dt,d\overrightarrow{r}$ 不变，故 $d{s}^2$ 不变。
2. 空间旋转：$dt$ 与 $|d\overrightarrow{r}|$ 不变，故 $d{s}^2$ 不变。
3. Galilean boost：$dt=d{t}^{\prime }$ ，但 $d\overrightarrow{r}=d{\overrightarrow{r}}^{\prime }+\overrightarrow{v}d{t}^{\prime }$ ，所以一般不保持 $d{s}^2$ 。

把第三条展开：

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}d{s}^2& =c^{2}d{t}^{\prime 2}-|d{\overrightarrow{r}}^{\prime }+\overrightarrow{v}d{t}^{\prime }{|}^2\\ & =d{s}^{\prime 2}-2\overrightarrow{v}\cdot d{\overrightarrow{r}}^{\prime }d{t}^{\prime }-v^{2}d{t}^{\prime 2}.\end{array}$$

多出的两项一般不为零。因此 Galilean 变换不能作为满足光速不变的惯性系变换，必须同时修改空间坐标和时间坐标。

回顾：保留哪些变换，修改哪一种变换？

原笔记页首有两行划去的旁注：[? 推测：同业拆借利率、同购期权；与本页物理推导无关，原字迹涂改较重。]

相对性原理与光速不变原理要求修正 Galilean 变换。时间不再绝对，同时性取决于参考系。

在不同惯性系中，对同一对事件：

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }{s}^2=c^2\mathrm{\Delta }{t}^2-|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2$$

保持不变，但 $\mathrm{\Delta }t$ 和 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ 一般分别变化。接下来寻找保持这一间隔的变换。

1. 分立变换

时间反演与空间反演分别为

Copy LaTeX$$T:t\mapsto -t,\overrightarrow{r}\mapsto \overrightarrow{r};P:t\mapsto t,\overrightarrow{r}\mapsto -\overrightarrow{r}.$$

因为 $(-t{)}^2=t^2$ 、$|-\overrightarrow{r}{|}^2=|\overrightarrow{r}{|}^2$ ，两者都保持间隔。也可以同时作 $PT$ 。

AI 补充说明：这是几何上保持间隔的判断；不等于断言每一种具体物理相互作用都具有 $P$ 或 $T$ 对称性。通常用于比较惯性观察者的 boost 选在与恒等变换相连、保持时间方向的分支。

2. 连续变换

① 时空平移：

Copy LaTeX$$t\mapsto t+\delta t,\overrightarrow{r}\mapsto \overrightarrow{r}+\delta \overrightarrow{r},\mathrm{\Delta }t\mapsto \mathrm{\Delta }t,\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}\mapsto \mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}.$$

② 空间旋转：$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$ 不变，时间差不变。

③ 不同匀速运动参考系之间的变换：旧的 Galilean 形式

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}^{\prime }+\overrightarrow{v}{t}^{\prime },t=t^{\prime }$$

会给出

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }{t}^{\prime },\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{r}}^{\prime }+\overrightarrow{v}\mathrm{\Delta }{t}^{\prime },$$

一般不满足 $\mathrm{\Delta }{s}^2$ 不变，因此第三类需要改成 Lorentz boost。

AI 补充说明：严格说，Lorentz 变换包含空间旋转与 boost；再加上时空平移，得到 Poincaré 变换。课堂这里是在逐类检查时空间隔的对称性。

Lorentz 变换的矩阵推导

设事件 1 为时空原点：$t_1=0,{\overrightarrow{r}}_1=\overrightarrow{0}$ ，于是另一个事件的 $\mathrm{\Delta }t=t,\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}$ 。先限制到 $1+1$ 维时空，只保留 $t,x$ ：

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }{s}^2=c^2{t}^2-x^2.$$

把坐标写成列向量 $X=(ct,x{)}^T$ ，寻求线性变换

Copy LaTeX$$X^{\prime }=AX,\left(\begin{array}{c}c{t}^{\prime }\\ x^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}ct\\ x\end{array}\right).$$

这里用 $ct$ 而非 $t$ ，是为了让两分量都具有长度量纲，矩阵元素就可以是无量纲的。

度量矩阵

Copy LaTeX$$G=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),\mathrm{\Delta }{s}^2=X^{T}GX=(ct,x)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}ct\\ x\end{array}\right).$$

三个空间维度加一个时间维度时，取 $X=(ct,x,y,z{)}^T$ ：

Copy LaTeX$$\eta =\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right).$$

[G]

G 补充与更正：原笔记旁边标“三维”，这里实际指三维空间所对应的四维时空矩阵。原图最后一个对角元写成了 $+1$ ；若采用前文的 $c^{2}d{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2$ ，应为 $-1$ 。度规中的正负号决定时间与空间在间隔中的不同作用；它不是四维欧氏距离。

为什么要求 $A^{T}GA=G$ ？

代入 $X^{\prime }=AX$ ：

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }{s}^{\prime 2}=X^{\prime T}G{X}^{\prime }=(AX{)}^{T}G(AX)=X^T{A}^{T}GAX.$$

希望对任意事件差 $X$ 都有 $\mathrm{\Delta }{s}^{\prime 2}=\mathrm{\Delta }{s}^2$ ，因此

Copy LaTeX$$X^T(A^{T}GA-G)X=0\text{对任意 }X.$$

括号中的矩阵是对称矩阵；它的二次型恒为零，说明所有矩阵元素都为零。故

Copy LaTeX$$\boxed{{\displaystyle A^{T}GA=G}}.$$

AI 补充说明：这就是“变换保持度规”的具体含义。普通欧氏旋转满足 $R^{T}IR=I$ ，即 $R^{T}R=I$ ；Lorentz 变换则保持带一个正号、其余负号的度规。

求解矩阵条件：双曲函数与快度

原笔记令 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ 。为避免矩阵元素 $c$ 与光速重名，下面将该元素写成 $q$ ：

Copy LaTeX$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ q& d\end{array}\right).$$

代入 $A^{T}GA=G$ ：

Copy LaTeX$$\left(\begin{array}{cc}a& -q\\ b& -d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ q& d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2-q^2& ab-qd\\ ab-qd& b^2-d^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

因此

Copy LaTeX$$a^2-q^2=1,b^2-d^2=-1,ab-qd=0.$$

四个未知数、三个独立约束，所以一般还剩一个连续参数，并不是只能解出某一个固定矩阵。

对与恒等变换连续相连的分支，可以取

Copy LaTeX$$a=d=\cosh \phi ,b=q=\sinh \phi ,$$

从而

Copy LaTeX$$A_{+}(\phi )=\left(\begin{array}{cc}\cosh \phi & \sinh \phi \\ \sinh \phi & \cosh \phi \end{array}\right).$$

AI 补充推导：第一式用 $a=\cosh \phi ,q=\sinh \phi$ 自动满足。再由 $ab=qd$ 得 $b=(q/a)d$ ，代入 $d^2-b^2=1$ ，得到 $d^2=a^2$ 。恒等变换附近 $d>0$ ，故 $d=a,b=q$ 。其他符号分支涉及反演，不能都混入这一参数化。

其依据是

Copy LaTeX$${\cosh }^2\phi -{\sinh }^2\phi =1.$$

对比欧氏旋转：

Copy LaTeX$$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),G_{\mathrm{E}}=I.$$

欧氏旋转保持圆 $x^2+y^2=\text{常数}$ ；Lorentz boost 保持双曲线 $c^2{t}^2-x^2=\text{常数}$ 。因此 $\phi$ 叫作双曲角或快度。

世界线与快度的符号

世界线是粒子在时空中的轨迹。若粒子在 $K$ 系的 $x=0$ 处静止，且暂按原笔记的正号矩阵写 $X^{\prime }=A_{+}(\phi )X$ ，则

Copy LaTeX$$t^{\prime }=\cosh \phi t,x^{\prime }=\sinh \phi ct,$$

因而它在 $K^{\prime }$ 中的速度为

Copy LaTeX$$u^{\prime }=\frac{d{x}^{\prime }}{d{t}^{\prime }}=c\tanh \phi .$$

AI 更正与统一约定：上式的 $c\tanh \phi$ 是“$K$ 原点在 $K^{\prime }$ 中的速度”。若全文仍把 $v$ 定义为“$K^{\prime }$ 相对 $K$ 沿 $+x$ 方向的速度”，则这个速度应是 $-v$ ，不能直接写成 $+v$ 。为与前面的参考系约定一致，后文取 $\tanh \phi =v/c$ ，并使用

Copy LaTeX$$X^{\prime }=A_{-}(\phi )X,A_{-}(\phi )=\left(\begin{array}{cc}\cosh \phi & -\sinh \phi \\ -\sinh \phi & \cosh \phi \end{array}\right).$$

原笔记的正号矩阵仍然正确，但应作为逆变换 $X=A_{+}(\phi )X^{\prime }$ 使用。正、负号取决于变换方向，不是两种不同物理规律。

Lorentz 变换的显式表达式

统一约定：$K^{\prime }$ 相对 $K$ 沿 $+x$ 方向以速度 $v$ 运动，两系坐标轴平行，原点在 $t=t^{\prime }=0$ 时重合。定义

Copy LaTeX$$\beta =\frac{v}{c},\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}},|v|<c.$$

由 $\tanh \phi =v/c$ 和 ${\cosh }^2\phi -{\sinh }^2\phi =1$ ：

Copy LaTeX$$\cosh \phi =\gamma ,\sinh \phi =\gamma \frac{v}{c}.$$

从 $K^{\prime }$ 到 $K$ 的逆变换是

Copy LaTeX$$\boxed{{\displaystyle ct=\frac{c{t}^{\prime }+(v/c)x^{\prime }}{\sqrt{1-v^2/c^2}},x=\frac{x^{\prime }+v{t}^{\prime }}{\sqrt{1-v^2/c^2}},y=y^{\prime },z=z^{\prime }.}}$$

从 $K$ 到 $K^{\prime }$ 的正变换是

Copy LaTeX$$\boxed{{\displaystyle t^{\prime }=\gamma (t-\frac{vx}{c^2}),x^{\prime }=\gamma (x-vt),y^{\prime }=y,z^{\prime }=z.}}$$

AI 更正：本页最上面两个公式的分母写成了 $\sqrt{1+v^2/c^2}$ ，与本页后面的双曲函数结果矛盾，应统一更正为 $\sqrt{1-v^2/c^2}$ 。可用 $x=vt$ 是否得到 $x^{\prime }=0$ 、以及 $c^2{t}^{\prime 2}-x^{\prime 2}=c^2{t}^2-x^2$ 检验符号。

当形式上令 $c\to \mathrm{\infty }$ （固定 $v,t,x$ ）时，$\gamma \to 1$ ，时间变换中的 $vx/c^2\to 0$ ，恢复

Copy LaTeX$$x=x^{\prime }+v{t}^{\prime },t=t^{\prime }.$$

这就是 Galilean 极限。日常低速情形通常可作相应近似。

同时性的公式表达

原笔记把一个事件放在原点，另一个事件写作 $(t^{\prime },x^{\prime })$ ，讨论 $t^{\prime }=0$ 。更一般地，对同一对事件有

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }t=\gamma (\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+\frac{v\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}{c^2}).$$

若它们在 $K^{\prime }$ 中同时，$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=0$ ，则

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }t=\gamma \frac{v\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}{c^2}.$$

因此只要 $v\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }\ne 0$ ，在 $K$ 中便不同时。若空间分离完全垂直于相对运动方向，仍可能同时。

物理效应一：运动时钟变慢——光钟

$K^{\prime }$ 中有一只静止的光钟：两镜沿垂直于运动方向排列，间距为 $d$ 。光从下镜到上镜再返回下镜，算一个周期。

沿用原笔记的记号，令 $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ 、$\mathrm{\Delta }t$ 分别为两系中的单程时间，则往返周期为 $2\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ 、$2\mathrm{\Delta }t$ 。在钟的静止系中

Copy LaTeX$$2\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\frac{2d}{c}.$$

在 $K$ 中，单程传播时镜子水平移动 $v\mathrm{\Delta }t$ ，光的路程为斜边：

Copy LaTeX$$c\mathrm{\Delta }t=\sqrt{d^2+v^2\mathrm{\Delta }{t}^2},2\mathrm{\Delta }t=\frac{2\sqrt{d^2+v^2\mathrm{\Delta }{t}^2}}{c}.$$

AI 补充说明：镜间距离取在垂直方向，所以两系中的 $d$ 相同。光走的路程变长，但速度仍为 $c$ ，故地面系给这只钟的一个周期分配更长的坐标时间。这里必须区分单程时间与完整周期，避免原笔记中因子 $2$ 的混淆。

光钟推导的结论与固有时

承接上面的单程时间记号：

Copy LaTeX$$c^2\mathrm{\Delta }{t}^2=d^2+v^2\mathrm{\Delta }{t}^2=c^2\mathrm{\Delta }{t}^{\prime 2}+v^2\mathrm{\Delta }{t}^2.$$

整理得

Copy LaTeX$$(1-\frac{v^2}{c^2})\mathrm{\Delta }{t}^2=\mathrm{\Delta }{t}^{\prime 2},\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }{t}^{\prime }.$$

对完整周期同样有 $T=\gamma T_0$ ，其中 $T=2\mathrm{\Delta }t,T_0=2\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }$ 。

固有时：原笔记比喻为“粒子背了一个钟”。它是随粒子运动的理想钟沿其世界线实际累计的时间。

Copy LaTeX$$\boxed{{\displaystyle d{s}^2=c^{2}d{\tau }^2}},d\tau =\frac{\sqrt{d{s}^2}}{c}=dt\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}.$$

AI 更正：原笔记一行写作 $d\tau =d{s}^2/c^2$ ，量纲不对；应为 $d{\tau }^2=d{s}^2/c^2$ 。这里 $u$ 是这只钟在所选系中的瞬时速率；恒速 $u=v$ 时，$\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }\tau$ 。变速时要沿轨迹积分 $\mathrm{\Delta }\tau =\int \sqrt{1-u(t{)}^2/c^2}dt$ 。完整光钟周期的出发与返回事件位于同一只钟的同一位置，可直接作为固有时间隔；单程的两个光子事件本身是类光分离，不要把光子的 $ds=0$ 误当作整只钟的计时。

物理效应二：动尺收缩

尺静止在 $K^{\prime }$ 中，左端 $A$ 、右端 $B$ ，固有长度为

Copy LaTeX$$L_0=x_B^{\prime }-x_A^{\prime }.$$

它相对 $K$ 沿 $+x$ 方向匀速运动。原笔记采用地面固定点 $P$ 的过点计时：前端 $B$ 在 $t_1$ 经过 $P$ ，后端 $A$ 在 $t_2$ 经过 $P$ ，$t_2>t_1$ 。

在 $K$ 中，两个过点事件的坐标为 $(t_1,x_P)$ 、$(t_2,x_P)$ ，故 $\mathrm{\Delta }x=0$ 。尺在 $K$ 中的长度为

Copy LaTeX$$L=v(t_2-t_1)=v\mathrm{\Delta }t.$$

原笔记接着写 $L_0=\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }$ ，随后混入正、逆变换并标了“??”。

AI 补全：这里卡住的关键是事件顺序与坐标差的符号。 取“事件 2 减事件 1”，事件 1 在前端 $B$ ，事件 2 在后端 $A$ ，所以

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=x_A^{\prime }-x_B^{\prime }=-L_0,$$

不是 $+L_0$ 。若只谈长度，则写 $|\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }|=L_0$ 。因为尺在 $K^{\prime }$ 静止，即使这两个事件在 $K^{\prime }$ 中不同时，端点坐标之差的绝对值仍等于固有长度。

用同一个方向的 Lorentz 正变换：

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=\gamma (\mathrm{\Delta }x-v\mathrm{\Delta }t)=-\gamma v\mathrm{\Delta }t.$$

所以

Copy LaTeX$$L_0=\gamma v\mathrm{\Delta }t=\gamma L,\boxed{{\displaystyle L=\frac{L_0}{\gamma }=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}.$$

原笔记中的时间变换 $c{t}^{\prime }=\gamma (ct-vx/c)$ 是正变换；与它配对的空间变换应为 $x^{\prime }=\gamma (x-vt)$ ，不能写成混有 $t^{\prime }$ 的加号式。

用矩阵逆变换检查正负号

Copy LaTeX$$A_{+}(\phi )=\left(\begin{array}{cc}\cosh \phi & \sinh \phi \\ \sinh \phi & \cosh \phi \end{array}\right),$$

Copy LaTeX$$A_{+}^{-1}(\phi )=A_{+}(-\phi )=\left(\begin{array}{cc}\cosh \phi & -\sinh \phi \\ -\sinh \phi & \cosh \phi \end{array}\right)=A_{-}(\phi ).$$

因为 $\cosh$ 是偶函数、$\sinh$ 是奇函数，交换参考系等价于 $v\mapsto -v$ 、$\phi \mapsto -\phi$ 。

AI 补充：长度测量的定义。直接测量运动尺的长度时，应在测量系 $K$ 中同时记录两端位置，即另选一对满足 $\mathrm{\Delta }t=0$ 的事件。这时 $L_0=\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=\gamma \mathrm{\Delta }x=\gamma L$ 。它与上述过点计时法得到同一结果，但选的是不同事件对。不要把“同时测两端”和“同地点先后过点”的条件混写在同一对事件上。

任意方向的 boost 与速度合成

把位置分解成平行与垂直分量

原笔记标注“非一维空间”。设 $K^{\prime }$ 相对 $K$ 的恒定速度为 $\overrightarrow{v}$ ，$v=|\overrightarrow{v}|$ ，并且两系没有额外空间旋转。逆变换的时间部分为

Copy LaTeX$$ct=\gamma (c{t}^{\prime }+\frac{\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }}{c}),\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

沿 $\overrightarrow{v}$ 分解位置矢量：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_{\parallel }+{\overrightarrow{r}}_{\perp },{\overrightarrow{r}}^{\prime }={\overrightarrow{r}}_{\parallel }^{\prime }+{\overrightarrow{r}}_{\perp }^{\prime }.$$

逆变换为

Copy LaTeX$$\boxed{{\displaystyle {\overrightarrow{r}}_{\perp }={\overrightarrow{r}}_{\perp }^{\prime },{\overrightarrow{r}}_{\parallel }=\gamma ({\overrightarrow{r}}_{\parallel }^{\prime }+\overrightarrow{v}{t}^{\prime }).}}$$

只有平行分量与时间混合；垂直位置分量不变。

投影算符

原筆记把速度矢量的并矢写作 $\overrightarrow{v}\overrightarrow{v}$ 。明确写成矩阵外积：

Copy LaTeX$$P=\frac{\overrightarrow{v}{\overrightarrow{v}}^T}{v^2},v\ne 0.$$

作用在位置矢量上：

Copy LaTeX$${\overrightarrow{r}}_{\parallel }^{\prime }=P{\overrightarrow{r}}^{\prime }=\frac{\overrightarrow{v}}{v^2}(\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }),$$

Copy LaTeX$${\overrightarrow{r}}_{\perp }^{\prime }={\overrightarrow{r}}^{\prime }-{\overrightarrow{r}}_{\parallel }^{\prime }=(I-P){\overrightarrow{r}}^{\prime }.$$

AI 补充说明：$\overrightarrow{v}{\overrightarrow{v}}^T$ 是一个矩阵，而 $\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }$ 是一个数。$P^2=P$ 表示投影一次后，再投影不会改变结果。原笔记的 $1-P$ 中，“1”应理解为单位算符 $I$ 。$v=0$ 时无需定义投影方向，变换直接是恒等变换。

合并为一个位置公式：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}^{\prime }+(\gamma -1)\frac{\overrightarrow{v}(\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime })}{v^2}+\gamma \overrightarrow{v}{t}^{\prime }.$$

从坐标变换推导速度合成

先取 $\overrightarrow{v}=v{\overrightarrow{e}}_x$ 。原笔记写出

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }t=\gamma (\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+\frac{v\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }}{c^2}),\mathrm{\Delta }x=\gamma (\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }+v\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }).$$

AI 补充说明：要求瞬时速度时，应沿粒子轨迹取微分，或令时间间隔趋于零。粒子速度用 $\overrightarrow{u},{\overrightarrow{u}}^{\prime }$ ，与参考系速度 $\overrightarrow{v}$ 区分。

由 $u_x^{\prime }=d{x}^{\prime }/d{t}^{\prime }$ ：

Copy LaTeX$$u_x=\frac{dx}{dt}=\frac{\gamma (d{x}^{\prime }+vd{t}^{\prime })}{\gamma (d{t}^{\prime }+vd{x}^{\prime }/c^2)}=\boxed{{\displaystyle \frac{u_x^{\prime }+v}{1+v{u}_x^{\prime }/c^2}}}.$$

原笔记写到 $u_y=\mathrm{\Delta }y/\mathrm{\Delta }t$ 即止。利用 $dy=d{y}^{\prime }$ ，继续得到

Copy LaTeX$$\boxed{{\displaystyle u_y=\frac{u_y^{\prime }}{\gamma (1+v{u}_x^{\prime }/c^2)},u_z=\frac{u_z^{\prime }}{\gamma (1+v{u}_x^{\prime }/c^2)}}}.$$

AI 补全：垂直坐标不变不代表垂直速度不变，因为速度的分母 $dt$ 也变了。这是只抄空间变换时容易漏掉的一步。

对于任意方向的 $\overrightarrow{v}$ ，令 ${\overrightarrow{u}}_{\parallel }^{\prime }=P{\overrightarrow{u}}^{\prime }$ 、${\overrightarrow{u}}_{\perp }^{\prime }=(I-P){\overrightarrow{u}}^{\prime }$ ，则

Copy LaTeX$$\boxed{{\displaystyle \overrightarrow{u}=\frac{{\overrightarrow{u}}_{\parallel }^{\prime }+\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{u}}_{\perp }^{\prime }/\gamma }{1+\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{u}}^{\prime }/c^2}.}}$$

检查：$v/c\to 0$ 且粒子也处于低速条件时，回到 $\overrightarrow{u}\simeq {\overrightarrow{u}}^{\prime }+\overrightarrow{v}$ ；若 $u_x^{\prime }=c,u_y^{\prime }=u_z^{\prime }=0$ ，则 $u_x=(c+v)/(1+v/c)=c$ ，与光速不变一致。

AI 核对依据：Lorentz 正、逆变换的符号约定与 $\gamma$ 分母已对照 David Tong《Dynamics and Relativity》第 7 章，§7.1 核对。本文其余展开按本次课堂笔记的问题逐步补全。