2026-09-05 CMC：数列极限与黎曼和误差

CMC

Day 1.

① 第 4 届（1）

求

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(n!{)}^{1/n^2}.$$

幂指数，取对数：

Copy LaTeX$$\frac{1}{n^2}\ln (n!).$$

$n!$ 阶乘，对数展开是求和：$\ln n+\cdots +\ln 1$ 。

无法直接求，着向用 $1/n^2$ 拆出 $1/n\cdot 1/n$ ：

Copy LaTeX$$\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}(\ln n+\cdots +\ln 1).$$

后面还是数列式，拆出 $1/n$ 后关键要放缩：

Copy LaTeX$$<\frac{1}{n}(\frac{\ln n}{n}+\frac{\ln (n-1)}{n-1}+\cdots +\frac{\ln 1}{1}).$$

构造出新数列 $\ln n/n$ ，它的平均值正好就是此式。由 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\ln n/n=0$ ，则原式 $=0$ ，幂指数还原：$e^0=1$ 。

或者不展开，因为无法求和，故用 Stirling 公式：

Copy LaTeX$$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$$

取 $\ln$ 后为 $\frac{1}{2}\ln (2\pi n)+n\ln \frac{n}{e}$ 。除以 $n^2$ ：

Copy LaTeX$$\frac{\ln (2\pi n)}{2n^2}+\frac{\ln (n/e)}{n}\to 0.$$

故极限原 $=1$ 。

② 第 2 届（1）

Copy LaTeX$$x_n=(1+a)(1+a^2)\cdots (1+a^{2^n}),|a|<1,$$

求 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ 。

次数：$1,2,4,\dots ,2^n$ 。裂点火：$1\to 2\to 4\to \cdots$ 。

添项 $(1-a)$ ：

Copy LaTeX$$(1-a)x_n=(1-a^2)(1+a^2)(1+a^4)\cdots =1-a^{2^{n+1}}.$$

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-a^{2^{n+1}})=1,$$

故

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\frac{1}{1-a}.$$

③ 第 6 届（1）

设

Copy LaTeX$$A_n=\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2},$$

求

Copy LaTeX$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(\frac{\pi }{4}-A_n).$$

不会，那我先描述一下吧。

$A_n$ 是一个和式，分子为 $n$ ，分母为 $n^2+i^2$ 。

当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，$(\pi /4-A_n)\times n$ ：一个常值与一个和式的差，要么把常值变为和式，要么把和式求出其值来。前者想不到什么有关的级数。后者：那把 $\pi /4$ 干嘛？难道有第三种可能？$(\pi /4-A_n)$ 肯定是无穷小。

以下是答案：考虑函数

Copy LaTeX$$f(x)=\frac{1}{1+x^2}.$$

记 $x_i=i/n$ ，利用定积分定义：

Copy LaTeX$${\int }_0^{1}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)\frac{1}{n}.$$

这里有点眉目了：定积分的下和式本身就对应着 $A_n$ 那种“区间分割式和”（把 $n$ 分割成 $i$ ，试试 $i/n$ ）。于是：要走的是第二种路线，把 $A_n$ 求出值来。

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_n& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{n^2}{n^2+i^2}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{1+(i/n{)}^2}\\ & ={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx.\end{array}$$

构造数列与积分的关键有二：① $i/n$ 作为函数变量；② $1/n$ 作为微分（绝对量）。

Copy LaTeX$${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx={{\tan }^{-1}x|}_0^1=\frac{\pi }{4}.$$

下面关键是把 $\pi /4-A_n$ 的等价无穷小用 $n$ 表示。

$A_n$ 当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时是一个定值、定积分，但 $n$ 在逼近过程中，要看 $\pi /4-A_n$ 的阶数才能与 $n$ 相乘得最终答案。

答案：用中值定理。你知道连续形式，那么离散形式应该就在两个连续形式之间被限制。

Copy LaTeX$$\frac{\pi }{4}-A_n=-\sum _{i=1}^n{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x_i)-f(x))dx.$$

这是熟悉的部分的分段积分。其实，这就是我之前想把 $\pi /4$ 拆开，只是拆成了积分，而非数列。

Lagrange 中值定理：存在 ${\xi }_i\in (x,x_i)$ ，使

Copy LaTeX$$f(x_i)-f(x)=f^{\prime }({\xi }_i)(x_i-x).$$

设 $f^{\prime }(x)$ 在 $[x_{i-1},x_i]$ 上最大、最小值为 $M_i,m_i$ 。因为

Copy LaTeX$${\int }_{x_{i-1}}^{x_i}(x_i-x)dx=\frac{1}{2n^2},$$

故

Copy LaTeX$$\frac{m_i}{2n^2}\le {\int }_{x_{i-1}}^{x_i}{f}^{\prime }({\xi }_i)(x_i-x)dx\le \frac{M_i}{2n^2}.$$

利用连续函数介值定理，存在 ${\eta }_i\in (x_{i-1},x_i)$ ，使

Copy LaTeX$$f^{\prime }({\eta }_i)=2n^2{\int }_{x_{i-1}}^{x_i}{f}^{\prime }({\xi }_i)(x_i-x)dx.$$

因此

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(\frac{\pi }{4}-A_n)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}\sum _{i=1}^n[-f^{\prime }({\eta }_i)]\\ & =-\frac{1}{2}{\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx\\ & =\frac{1}{4}.\end{array}$$

以后要先自己做，再快速抄，再默写。