2026-09-01 量子纠错：Pauli 群与编码空间

纠错量子码

只读取编码后信息，而量子本体[?]。

Q：如何在不读取逻辑态的情况下发现错误？

映射编码空间。

完整 $n$ 比特 Pauli 群为：

Copy LaTeX$$P_n\equiv \{i^r{P}_1\otimes \cdots \otimes P_n:r\in \{0,1,2,3\},P_j\in \{I,X,Y,Z\}\}.$$

注：群 = 一个集合 + 二元运算，满足 4 条规则：

1. 封闭性：$\mathrm{\forall }a,b\in G$ ，$a\circ b\in G$ 。
2. 结合律：$\mathrm{\forall }a,b,c\in G$ ，$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ 。
3. 单位元：有 $e\in G$ ，$a\circ e=e\circ a\in G$ ，$\mathrm{\forall }a\in G$ 。
4. 逆元：$\mathrm{\forall }a\in G$ ，有 $a^{-1}\in G$ ，$a^{-1}\circ a=e$ 。

群：

Copy LaTeX$$G=(P_n,\circ ).$$

除去整体相位群：

Copy LaTeX$$P_1=\{i^{r}P:r\in \{0,1,2,3\},P\in \{I,X,Y,Z\}\}=\{\pm I,\pm iI,\pm X,\dots \}.$$

此时元素为矩阵，群运算为矩阵乘法。

$P_n$ 是所有 $n$ bits Pauli 操作（允许整体相位）的集合。