2026-09-01 数理方法：Fourier 级数与复指数形式

Fourier 变换

三角函数族

Copy LaTeX$$\{\sin nx,\cos nx\}$$

是一个完备的正交函数系，可作为基向量系统（Hilbert 空间）。

一个周期为 $2\pi$ 的任意变化函数 $f(x)$ ，若满足 Dirichlet 条件，则可用基底

Copy LaTeX$$\{\sin nx,\cos nx\}$$

展开为

Copy LaTeX$$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k\cos kx+b_k\sin kx).$$

系数为

Copy LaTeX$$a_k=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos kxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\frac{\cos kx}{\pi }dx.$$

其中 $\cos kx$ 为基向量。[图示：向量在基向量方向上的投影。]

基向量模长：

Copy LaTeX$$\sqrt{{\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}kxdx}=\sqrt{\pi }.$$

Fourier 基下面两组基向量的模长为 $\sqrt{\pi }$ ，要除以 $\sqrt{\pi }$ 归一。

故

Copy LaTeX$$a_k=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\frac{\sin (kx)}{\sqrt{\pi }}dx=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (kx)dx.$$

当 $f(x)$ 为奇函数，$a_k=0$ ；

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}{b}_k& =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin kxdx\\ & =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin kxdx.\end{array}$$

奇函数无 $\cos kx$ ，偶函数无 $\sin kx$ 。

周期为 $2l$ 的函数，Fourier 展开为：

Copy LaTeX$$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k\cos \frac{\pi kx}{l}+b_k\sin \frac{\pi kx}{l}),$$

其中

Copy LaTeX$$a_k=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \frac{\pi kx}{l}dx.$$

由 Euler 公式

Copy LaTeX$$e^{imx}=\cos mx+i\sin mx,m\in \mathbb{Z},$$

且

Copy LaTeX$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{i(m-n)x}dx={\delta }_{m,n},$$

故 $\{e^{imx}\}$ 也可作为 Hilbert 空间之一组基。

[G: 简要说明这一步]

G 补充

由 Euler 公式，$e^{imx}$ 同时包含 $\cos mx$ 与 $\sin mx$ 。在内积

Copy LaTeX$$⟨e^{inx},e^{imx}⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\overline{e^{inx}}{e}^{imx}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{i(m-n)x}dx={\delta }_{m,n}$$

下，不同整数频率彼此正交，因此可以用复指数函数作为 Fourier 基。

系数同理为：

Copy LaTeX$$c_k=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx.$$

[G: 为何是 $e^{-ikx}$ ，非 $e^{ikx}$ ？]

G 补充

展开所用的基向量是 $e^{ikx}$ ，求它的系数要与该基向量做复内积。复内积会对基向量取共轭，而

Copy LaTeX$$\overline{e^{ikx}}=e^{-ikx},$$

所以系数公式中出现 $e^{-ikx}$ 。

此展开形式：

Copy LaTeX$$f(x)=\sum _k(\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(\xi )e^{-ik\xi }d\xi )e^{ikx},$$

称为 Fourier 展开。