理论力学学习提纲

理论力学

课程内容与学习思路

课程从牛顿方程出发，讨论约束、自由度和广义坐标，再进入拉格朗日表述、作用量原理与哈密顿表述。运动学描述怎样运动，动力学讨论运动与力的关系。

力学还发展出连续介质、流体与弹性、非线性和混沌等方向。数学既用来表达物理关系，也用来建立模型、推导结果；具体问题又会推动数学概念的发展。

参考系、坐标系与运动描述

参考系决定相对于谁描述运动；坐标系是在选定参考系中给位置编号的方法。同一参考系可以使用直角坐标，也可以使用极坐标。

运动方程 $x=x(t),y=y(t)$ 给出每个时刻的位置。消去 $t$ 得到轨迹关系，但会丢掉沿轨迹运动的快慢；轨迹也不一定能整体写成单值函数 $y(x)$ 。

在基矢固定的直角坐标系中：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{r}=x{\overrightarrow{e}}_x+y{\overrightarrow{e}}_y,\overrightarrow{v}=\dot{x}{\overrightarrow{e}}_x+\dot{y}{\overrightarrow{e}}_y,\overrightarrow{a}=\ddot{x}{\overrightarrow{e}}_x+\ddot{y}{\overrightarrow{e}}_y.$$

极坐标运动学

坐标和基矢

极坐标用到原点的距离 $r$ 和方向角 $\phi$ 确定位置：

Copy LaTeX$$x=r\cos \phi ,y=r\sin \phi ,r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

由 $\tan \phi =y/x$ 反求角度时必须检查象限；原点处角度不唯一。

${\overrightarrow{e}}_r$ 指向径向外侧，${\overrightarrow{e}}_{\phi }$ 指向角度增大的方向：

Copy LaTeX$${\overrightarrow{e}}_r=\cos \phi {\overrightarrow{e}}_x+\sin \phi {\overrightarrow{e}}_y,{\overrightarrow{e}}_{\phi }=-\sin \phi {\overrightarrow{e}}_x+\cos \phi {\overrightarrow{e}}_y.$$

这两个基矢长度都是 1，方向却随 $\phi$ 改变。沿运动求导：

Copy LaTeX$${\dot{\overrightarrow{e}}}_r=\dot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi },{\dot{\overrightarrow{e}}}_{\phi }=-\dot{\phi }{\overrightarrow{e}}_r.$$

速度、加速度与使用方法

Copy LaTeX$$\overrightarrow{v}=\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r+r\dot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi },$$

Copy LaTeX$$\overrightarrow{a}=(\ddot{r}-r{\dot{\phi }}^2){\overrightarrow{e}}_r+(2\dot{r}\dot{\phi }+r\ddot{\phi }){\overrightarrow{e}}_{\phi }.$$

已知 $r(t),\phi (t)$ 时，先求它们的一、二阶导数，再代入。若自行推导，必须同时对分量和基矢求导。

$\dot{r},\dot{\phi }$ 是广义速度；实际速度的两个正交分量是 $\dot{r},r\dot{\phi }$ 。角速度不能直接当成线速度。

径向加速度包括 $\ddot{r}$ 和向心项 $-r{\dot{\phi }}^2$ ；角向加速度包括 $r\ddot{\phi }$ ，以及径向运动和基矢转动共同产生的 $2\dot{r}\dot{\phi }$ 。

例：半径固定的圆周运动，$\dot{r}=\ddot{r}=0$ ，所以

Copy LaTeX$$\overrightarrow{a}=-r{\dot{\phi }}^2{\overrightarrow{e}}_r+r\ddot{\phi }{\overrightarrow{e}}_{\phi }.$$

匀速时 $\ddot{\phi }=0$ ，加速度仍不为零，因为速度方向一直在变。

曲线坐标与度规

坐标切向量和单位基矢

一般坐标 $u,v$ 通过 $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(u,v)$ 表示位置。只改变其中一个坐标，得到相应坐标线的切向量：

Copy LaTeX$${\overrightarrow{r}}_u=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u},{\overrightarrow{r}}_v=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial v},\overrightarrow{v}={\overrightarrow{r}}_u\dot{u}+{\overrightarrow{r}}_v\dot{v}.$$

坐标切向量不一定长为 1。归一化才得到单位基矢：

Copy LaTeX$${\overrightarrow{e}}_u=\frac{{\overrightarrow{r}}_u}{|{\overrightarrow{r}}_u|},{\overrightarrow{e}}_v=\frac{{\overrightarrow{r}}_v}{|{\overrightarrow{r}}_v|}.$$

两切向量点积为零，才是正交坐标。曲线坐标不一定正交。

度规的含义与计算

度规记录坐标变化对应多长的实际位移：

Copy LaTeX$$g_{ij}=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q^i}\cdot \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q^j},d{s}^2=g_{ij}d{q}^{i}d{q}^j.$$

重复指标表示求和。二维展开为

Copy LaTeX$$d{s}^2=g_{uu}d{u}^2+2g_{uv}dudv+g_{vv}d{v}^2.$$

求度规的方法：写出 $\overrightarrow{r}$ ，对各坐标求偏导，再把这些切向量两两点乘。对角元给出各方向的长度尺度；非对角元反映坐标方向是否正交。

极坐标：

Copy LaTeX$$g=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& r^2\end{array}\right),d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\phi }^2.$$

这里 $\partial \overrightarrow{r}/\partial \phi =r{\overrightarrow{e}}_{\phi }$ ，不是 ${\overrightarrow{e}}_{\phi }$ 。

补充例题：在半径 $2\mathrm{m}$ 的圆上，角度改变 $0.01\mathrm{rad}$ ，沿圆的弧长为 $2\times 0.01=0.02\mathrm{m}$ 。度规里的 $r^2$ 正是在把角度增量换成长度。

球坐标中，$\theta$ 为从 $+z$ 轴量起的极角，$\phi$ 为方位角：

Copy LaTeX$$g=\mathrm{diag}(1,r^2,r^2{\sin }^2\theta ),d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\phi }^2.$$

Copy LaTeX$${\overrightarrow{e}}_r=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial r},{\overrightarrow{e}}_{\theta }=\frac{1}{r}\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta },{\overrightarrow{e}}_{\phi }=\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi }.$$

这些归一化公式用于坐标非奇异处；$r=0$ 或极轴上不能直接除以零。

度规与动能

在不显含时间的坐标变换中，

Copy LaTeX$$T=\frac{1}{2}m|\overrightarrow{v}{|}^2=\frac{1}{2}m{g}_{ij}{\dot{q}}^i{\dot{q}}^j.$$

原笔记也用 $x^{\mu }$ 表示广义坐标，它不是专指直角坐标 $x$ 。例如 $x^1=r,x^2=\phi$ ，于是

Copy LaTeX$$T=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2).$$

自然坐标与曲率

已知轨迹形状时，可沿轨迹选弧长 $s$ ，把加速度分为切向与法向。${\overrightarrow{e}}_{\tau }$ 沿运动切线，${\overrightarrow{e}}_n$ 指向曲率中心：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{v}=\dot{s}{\overrightarrow{e}}_{\tau },\overrightarrow{a}=\ddot{s}{\overrightarrow{e}}_{\tau }+\frac{{\dot{s}}^2}{\rho }{\overrightarrow{e}}_n.$$

切向项改变速率；法向项改变方向。曲率 $\kappa$ 描述轨迹弯曲程度，曲率半径 $\rho =1/\kappa$ ；弯曲越急，$\rho$ 越小。

对平面曲线 $y=y(x)$ ：

Copy LaTeX$$\kappa =\frac{|y^{″}|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}},\rho =\frac{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}{|y^{″}|}.$$

方法：由轨迹求 $\rho$ ，由运动随时间的规律求 $\dot{s},\ddot{s}$ ，再计算两项。仅知道轨迹，不能确定速率。曲率为零处法向加速度为零，不必强行定义曲率中心。

事件、惯性系与经典时空观

事件是某时某地发生的一件事，坐标为 $(t,x,y,z)$ 。相对性原理要求物理规律在所有惯性系中形式相同，不要求坐标数值相同。

经典时空观中，同一对事件的时间间隔是绝对的；空间位移依赖参考系。轴平行、原点初始重合时，若 $K^{\prime }$ 相对 $K$ 以恒定速度 $\overrightarrow{v}$ 运动：

Copy LaTeX$$t=t^{\prime },\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}^{\prime }+\overrightarrow{v}{t}^{\prime },\overrightarrow{u}={\overrightarrow{u}}^{\prime }+\overrightarrow{v},\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{\prime }.$$

这是伽利略变换。$\overrightarrow{v}$ 是参考系速度，$\overrightarrow{u}$ 是粒子速度。

对同时事件 $\mathrm{\Delta }t=0$ ，空间距离保持不变。对不同时事件，一般不保持；例如人在车厢同一座位上的两次读数，在车厢系同地点，在地面系却不同地点。

平移、旋转与群

时间平移改变计时零点，空间平移改变位置原点；对应时空均匀性。空间旋转改变方向，对应空间各向同性。

一组变换构成群，需要：复合后仍在这组中、满足结合律、有恒等变换、每个变换有逆变换。平移复合时位移相加，是直观例子。

平面内主动逆时针旋转矢量：

Copy LaTeX$$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right).$$

看基矢 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 转到哪里，就能写出矩阵的两列。若旋转的是坐标轴，分量使用 $R(-\theta )$ 。

$n$ 维旋转有 $n(n-1)/2$ 个独立参数：二维 1 个、三维 3 个、四维 6 个。可理解为每个坐标平面的独立转角。四维不能简单按三维“绕一根轴”的图像理解。

补充：$R^{T}R=I$ 的微小形式要求旋转生成矩阵反对称，独立元素个数正是上述计数。三维有限转动的先后次序一般不可交换。三维伽利略群包含 4 个平移、3 个旋转、3 个速度参数，共 10 个。

补充（沿用旧提纲）：在适用诺特定理的力学系统中，连续时间平移、空间平移、空间旋转对称性分别对应能量、动量、角动量守恒。

狭义相对论与时空间隔

基本原理：物理规律在所有惯性系中形式相同；真空光速 $c$ 在所有惯性系中相同。

时间差、空间位移各自会随参考系改变，组合后的时空间隔不变：

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }{s}^2=c^2\mathrm{\Delta }{t}^2-|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2.$$

间隔	含义	因果判断
$\mathrm{\Delta }{s}^2>0$ ，类时	时间足够让亚光速信号跨越两地	允许因果联系，并非必然互为因果
$\mathrm{\Delta }{s}^2=0$ ，类光	恰好能由光速信号连接	位于因果传播的边界
$\mathrm{\Delta }{s}^2<0$ ，类空	即使光也来不及到达	两事件不能直接传递因果影响

方法：先确定同一对事件，再算间隔符号。不能把不同事件对的时间差和位置差拼在一起。

光速不变只直接给出“零间隔仍为零”。结合线性变换、时空均匀性和空间各向同性，可先得两系间隔相差比例因子；再用互逆变换及与恒等变换的连续性确定因子为 1。

保持时间方向的洛伦兹变换还保持类时、类光事件的先后顺序。时间反演也保持间隔，却翻转时间方向，二者要区分。

洛伦兹变换

约定、正变换和逆变换

$K^{\prime }$ 相对 $K$ 沿 $+x$ 方向以速度 $v$ 运动，两系轴平行，$t=t^{\prime }=0$ 时原点重合。定义

Copy LaTeX$$\beta =v/c,\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}},|v|<c.$$

从 $K$ 的坐标求 $K^{\prime }$ 的坐标：

Copy LaTeX$$t^{\prime }=\gamma (t-vx/c^2),x^{\prime }=\gamma (x-vt),y^{\prime }=y,z^{\prime }=z.$$

从 $K^{\prime }$ 求 $K$ ，把 $v$ 反号：

Copy LaTeX$$t=\gamma (t^{\prime }+v{x}^{\prime }/c^2),x=\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime }),y=y^{\prime },z=z^{\prime }.$$

检查符号：$K^{\prime }$ 原点的轨迹 $x=vt$ 应变成 $x^{\prime }=0$ ；光线 $x=ct$ 应变成 $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$ 。固定 $v,t,x$ 令 $c\to \mathrm{\infty }$ ，恢复伽利略变换。

度规、矩阵与快度

取坐标差列向量 $X=(c\mathrm{\Delta }t,\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y,\mathrm{\Delta }z{)}^T$ ：

Copy LaTeX$$\eta =\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1),\mathrm{\Delta }{s}^2=X^T\eta X.$$

$X^{\prime }=\mathrm{\Lambda }X$ 保持间隔，等价于 ${\mathrm{\Lambda }}^T\eta \mathrm{\Lambda }=\eta$ 。时间分量用 $ct$ ，是为了与空间坐标具有相同量纲。

快度 $\phi$ 是另一种表示相对速度的参数：

Copy LaTeX$$\tanh \phi =v/c,\cosh \phi =\gamma ,\sinh \phi =\gamma v/c.$$

在 $(ct,x)$ 平面，正变换矩阵为

Copy LaTeX$$\mathrm{\Lambda }(\phi )=\left(\begin{array}{cc}\cosh \phi & -\sinh \phi \\ -\sinh \phi & \cosh \phi \end{array}\right),{\mathrm{\Lambda }}^{-1}(\phi )=\mathrm{\Lambda }(-\phi ).$$

普通旋转保持圆的方程；洛伦兹 boost 保持 $c^2{t}^2-x^2=\text{常数}$ 的双曲线，因此也称双曲旋转。

世界线是粒子在时空中的轨迹。静止粒子的位置不变，但时间仍在增加，所以世界线沿时间方向，不是一个点。

补充（沿用旧提纲）：四维洛伦兹群有 3 个空间旋转和 3 个 boost 参数；再加 4 个时空平移，得到庞加莱群。空间反演和时间反演也是间隔的离散对称变换，但不等于所有相互作用都具有这些对称性。

同时性、固有时与长度

同时性

Copy LaTeX$$\mathrm{\Delta }t=\gamma (\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }+v\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }/c^2).$$

在 $K^{\prime }$ 同时，即 $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=0$ ，不代表在 $K$ 同时。只要 $v\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }\ne 0$ ，就有 $\mathrm{\Delta }t\ne 0$ 。若事件分离垂直于运动方向，仍可能同时。

固有时与时间膨胀

固有时是随物体运动的钟实际累计的时间。沿这只钟的世界线，

Copy LaTeX$$d{s}^2=c^{2}d{\tau }^2,d\tau =dt\sqrt{1-u^2/c^2}.$$

恒速运动时 $\mathrm{\Delta }t=\gamma \mathrm{\Delta }\tau$ ；变速时对 $d\tau$ 沿运动过程积分。

使用前先选“同一只钟的两次读数”这对事件，它们在钟的静止系同地点。任意两事件的时间差不能直接叫固有时。

光钟的完整往返周期在自身系为 $T_0=2d/c$ ，运动系中为 $T=\gamma T_0$ 。单程光子的两事件是类光分离，不能把光子的零间隔当成整只钟没有走时。

长度收缩与事件选择

固有长度 $L_0$ 是尺静止时的长度。测量运动尺，必须在测量系同时记录两端位置：

Copy LaTeX$$L=L_0/\gamma .$$

收缩发生在运动方向，垂直方向尺寸不变。

原笔记的另一种方法是过点计时：尺的前端、后端依次经过地面固定点，间隔 $\mathrm{\Delta }t$ ，则 $L=v\mathrm{\Delta }t$ 。这对事件在地面系同地点，$\mathrm{\Delta }x=0$ ；按“后一次减前一次”，尺系中的坐标差为 $-L_0$ ，故

Copy LaTeX$$-L_0=\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=\gamma (\mathrm{\Delta }x-v\mathrm{\Delta }t)=-\gamma v\mathrm{\Delta }t,L=L_0/\gamma .$$

方法	选的事件	已知条件
同时测两端	同一时刻记录尺两端位置	测量系 $\mathrm{\Delta }t=0$
固定点计时	前端、后端先后通过一个点	地面系 $\mathrm{\Delta }x=0$
时间膨胀	同一只钟的两次读数	钟静止系 $\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=0$

不能把三行中的条件混用在同一对事件上。

补充例题：$v=0.6c$ ，则 $\gamma =1.25$ 。运动钟自身走过 $4\mathrm{s}$ ，地面系对应经过 $5\mathrm{s}$ ；固有长度 $10\mathrm{m}$ 的尺在地面系同时测量为 $8\mathrm{m}$ 。两问分别选取钟的读数事件和尺的端点事件。

任意方向变换与速度合成

平行、垂直分解

相对速度为 $\overrightarrow{v}$ 时，先按它的方向拆分矢量。$v\ne 0$ 时，投影矩阵为

Copy LaTeX$$P=\frac{\overrightarrow{v}{\overrightarrow{v}}^T}{v^2},{\overrightarrow{r}}_{\parallel }^{\prime }=P{\overrightarrow{r}}^{\prime },{\overrightarrow{r}}_{\perp }^{\prime }=(I-P){\overrightarrow{r}}^{\prime }.$$

$\overrightarrow{v}{\overrightarrow{v}}^T$ 是矩阵外积，$\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }$ 是数。$P^2=P$ 表示已投影的矢量再次投影不变。$v=0$ 时直接用恒等变换。

两系无额外旋转时，从 $K^{\prime }$ 到 $K$ ：

Copy LaTeX$$t=\gamma (t^{\prime }+\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }/c^2),{\overrightarrow{r}}_{\parallel }=\gamma ({\overrightarrow{r}}_{\parallel }^{\prime }+\overrightarrow{v}{t}^{\prime }),{\overrightarrow{r}}_{\perp }={\overrightarrow{r}}_{\perp }^{\prime }.$$

从坐标变换求速度

沿粒子轨迹对坐标变换取微分，再用 $dx/dt$ 求速度。时间也在变换，不能只看空间坐标。

当 $\overrightarrow{v}=v{\overrightarrow{e}}_x$ ：

Copy LaTeX$$u_x=\frac{u_x^{\prime }+v}{1+v{u}_x^{\prime }/c^2},u_y=\frac{u_y^{\prime }}{\gamma (1+v{u}_x^{\prime }/c^2)},u_z=\frac{u_z^{\prime }}{\gamma (1+v{u}_x^{\prime }/c^2)}.$$

任意方向：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{u}=\frac{{\overrightarrow{u}}_{\parallel }^{\prime }+\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{u}}_{\perp }^{\prime }/\gamma }{1+\overrightarrow{v}\cdot {\overrightarrow{u}}^{\prime }/c^2}.$$

垂直坐标不变，垂直速度仍会变，因为分母 $dt$ 变了。各速度都远小于 $c$ 时回到经典速度相加；沿运动方向的光代入后仍有 $u_x=c$ 。

逆变、协变与指标

逆变分量像坐标增量一样变换，写上指标；协变分量像函数梯度一样变换，写下指标：

Copy LaTeX$$A^{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\nu }}{A}^{\nu },A_{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{\nu }}{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{A}_{\nu }.$$

两种变换的因子互逆，因此求和 $A_{\mu }{B}^{\mu }$ 不变。这个把同一指标求和消去的操作叫缩并。

度规联系同一个矢量的上下指标分量：

Copy LaTeX$$A_{\mu }=g_{\mu \nu }{A}^{\nu }.$$

补充例题：极坐标中 $g_{\phi \phi }=r^2$ ，所以 $A_{\phi }=r^2{A}^{\phi }$ 。它们也都不能直接与单位基矢方向的物理分量混为一谈：该分量是 $r{A}^{\phi }$ 。

“方程协变”指换坐标后方程仍有相同形式；“协变分量”指上面的具体分量变换规则。