2026-08-30 电动力学：麦克斯韦方程组与边值关系

电动力学

§1.3 麦克斯韦方程组

上节课学过

电生磁

↓

磁生电？（电磁感应定律）

Copy LaTeX$$\mathcal{E}=-\frac{d}{dt}{\int }_S\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S}$$

变化的磁场 $\to$ 电场

变化电场 $\to$ 磁场？（位移电流）

位移电流

1. 恒定电流

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}=0$$

恒定电流是闭合的，散度为零。

注：因为

Copy LaTeX$${\int }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J})dV=\frac{dQ}{dt}=0$$

2. 交变电流（如有电容器的情况）不闭合，$\overrightarrow{J}$ 中断；自由电子无法穿过。

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}\ne 0$$

电流、磁场：

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{J}$$

[G: 它与积分形式的联系？]

G 补充

对等式两边在以 $L$ 为边界的曲面 $S$ 上积分，并用 Stokes 定理：

Copy LaTeX$${\oint }_L\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{l}={\int }_S(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B})\cdot d\overrightarrow{S}={\mu }_0{\int }_S\overrightarrow{J}\cdot d\overrightarrow{S}={\mu }_0{I}_{\mathrm{enc}}.$$

这就是安培环路定律的积分形式；微分形式描述一点附近的关系，积分形式描述整个曲面及其边界上的关系。

由于旋度的散度恒等于零。

[G: 形象的解释 $\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F})\equiv 0$ ？]

G 补充

把空间分成许多很小的体积元。旋度表示每个小面附近的“环流”，相邻体积元共用的面取向相反，因此内部贡献两两抵消；闭合曲面最终没有净的“旋涡通量”。等价地，由 Stokes 定理，闭合曲面没有边界，所以

Copy LaTeX$${\int }_V\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F})dV={\oint }_{\partial V}(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F})\cdot d\overrightarrow{S}={\oint }_{\partial (\partial V)}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}=0.$$

故 ${\mu }_0\overrightarrow{J}$ 的散度为零时，公式才可能成立。

前面这种情况 $\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}\ne 0$ ，则公式

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{J}$$

需修正。

如何修正：

定义 ${\overrightarrow{J}}_D$ 使

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot ({\overrightarrow{J}}_D+\overrightarrow{J})=0.$$

则公式变为

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\mu }_0(\overrightarrow{J}+{\overrightarrow{J}}_D).$$

由 ${\overrightarrow{J}}_D$ 的定义式中要求 $\mathrm{\nabla }\cdot ({\overrightarrow{J}}_D+\overrightarrow{J})$ 得出：

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot ({\overrightarrow{J}}_D+\overrightarrow{J})=0.$$

电荷守恒：

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{J}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}.$$

$\mathrm{\nabla }\cdot ({\overrightarrow{J}}_D+{\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t}})=0$

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}_D=\frac{\partial \rho }{\partial t}.$$

Copy LaTeX$$\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}$$

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot {\overrightarrow{J}}_D={\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right).$$

得到 ${\overrightarrow{J}}_D$ 的一个可能的表达式：

Copy LaTeX$${\overrightarrow{J}}_D={\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}.$$

从数学上，此式并非 ${\overrightarrow{J}}_D$ 的唯一可能，但在物理上足够圆满。

日后被赫兹关于电磁波的实验证明。

[G: 详细一下如何证明]

G 补充

Maxwell 加入位移电流项后，真空中的方程可联立得到

Copy LaTeX$${\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{E}-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0,{\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{B}-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}=0,$$

因而预言电磁波速度

Copy LaTeX$$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}.$$

赫兹用振荡火花隙产生高频电磁场，并在远处接收环中观察到感应火花；他还测得反射、干涉、偏振等波动现象。实验支持了 Maxwell 方程给出的电磁波预言，也就间接验证了产生该波动方程所必需的位移电流项。它不是单独直接“测出” ${\overrightarrow{J}}_D$ 的实验。

Maxwell 方程组

将以上规律总结，得到四条基本公式：

Copy LaTeX$$\{\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}& =-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t},\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}& ={\mu }_0\overrightarrow{J}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t},\end{array}$$

Copy LaTeX$$\{\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}& =\frac{\rho }{{\epsilon }_0},\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}& =0.\end{array}$$

Maxwell 方程组反映一般情况下电荷所激发的电磁场，以及电磁场内部运动的规律。

物理意义：（电场、磁场）$+$ 场才真正可以相互激发。[?]

洛伦兹力公式

Maxwell 方程组：荷 $\to$ 场，场 $\leftrightarrow$ 场。

Lorentz 公式：场 $\to$ 荷。

Copy LaTeX$$\overrightarrow{f}=\rho \overrightarrow{E}+\overrightarrow{J}\times \overrightarrow{B}$$

$\overrightarrow{f}$ ：电荷系统单位体积所受力密度。

$\rho$ ：电荷体密度。

$\overrightarrow{J}dV$ ：恒定电流元。

[G: 为什么要恒定？]

G 补充

洛伦兹力密度公式本身并不要求电流恒定。一般情况下可写成

Copy LaTeX$$\overrightarrow{f}(\overrightarrow{r},t)=\rho (\overrightarrow{r},t)\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)+\overrightarrow{J}(\overrightarrow{r},t)\times \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t).$$

这里强调“恒定电流元”，是因为当前把电流元当作稳定、固定的受力对象；若电荷密度和电流随时间变化，仍可在每一时刻使用上式，但 $\rho$ 、$\overrightarrow{J}$ 、$\overrightarrow{E}$ 、$\overrightarrow{B}$ 都要保留时间依赖，整体受力还需对体积积分。

带电粒子系统：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{f}=q\overrightarrow{E}+q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}.$$

介质中的 Maxwell 方程组

1. 电介质极化、磁化

外电场 $\overrightarrow{E}$ 打破了热运动带来的电矩平衡，使

Copy LaTeX$$\overrightarrow{P}=\frac{\sum {\overrightarrow{p}}_i}{\mathrm{\Delta }V}\ne 0.$$

Copy LaTeX$${\oint }_S\overrightarrow{P}\cdot d\overrightarrow{S}$$

表示闭合区域内露出的总电荷（即净余负电荷）。[?]

则

Copy LaTeX$${\int }_V{\rho }_{p}dV=-{\oint }_S\overrightarrow{P}\cdot d\overrightarrow{S},$$

Copy LaTeX$${\rho }_p=-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{P}.$$

非均匀介质极化，整个介质内有出现束缚电荷。均匀介质内，束缚电荷只于自由电荷附近或界面处出现。

两介质分界面处：

Copy LaTeX$${\sigma }_p=-{\overrightarrow{e}}_n\cdot ({\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_1),$$

其中 ${\overrightarrow{e}}_n$ ：$1\to 2$ 。

介质电场强：①[?]介质；②极化电荷场。[?]

引入电位移矢量：使 ${\rho }_p$ （极化电荷不出现在方程中）消失。

Copy LaTeX$${\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}={\rho }_f+{\rho }_p={\rho }_f-\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{P},$$

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\cdot ({\epsilon }_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P})={\rho }_f,$$

Copy LaTeX$$\overrightarrow{D}={\epsilon }_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}.$$

而

Copy LaTeX$$\overrightarrow{P}={\chi }_e{\epsilon }_0\overrightarrow{E}\text{（各向同性介质）}.$$

同理，对磁场分磁介质，磁化电流也激发磁场。

磁化电流

1. 磁矩

Copy LaTeX$$\overrightarrow{m}=i\overrightarrow{a},$$

Copy LaTeX$$\overrightarrow{M}=\frac{\sum {\overrightarrow{m}}_i}{\mathrm{\Delta }V}.$$

Copy LaTeX$${\oint }_{L}n\overrightarrow{a}\cdot d\overrightarrow{l}$$

表示被边界线 $L$ 环绕着的分子电流数目。[?]

↓

单位线段内个数。

$\overrightarrow{a}\cdot d\overrightarrow{l}$ ：体积元（内部所有分子电流穿过 $L$ 的）。

$S$ 内部分子电流不贡献通过 $S$ 面的净电流，只有边界处只穿出 $S$ 一次的有贡献。

大小为：

Copy LaTeX$$I_m={\oint }_{L}ni\overrightarrow{a}\cdot d\overrightarrow{l}={\oint }_{L}n\overrightarrow{m}\cdot d\overrightarrow{l}={\oint }_L\overrightarrow{M}\cdot d\overrightarrow{l}.$$

则 $I_m$ 表示磁化电流密度。[?]

Copy LaTeX$${\int }_S{\overrightarrow{J}}_m\cdot d\overrightarrow{S}={\oint }_L\overrightarrow{M}\cdot d\overrightarrow{l},$$

Copy LaTeX$${\overrightarrow{J}}_m=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{M}.$$

诱导电流

• 磁化电流
• 极化电流（$\overrightarrow{P}$ 变化，${\rho }_p$ 分布变化产生）

Copy LaTeX$$\overrightarrow{P}=\frac{\sum e_i{\overrightarrow{x}}_i}{\mathrm{\Delta }V}$$

——每个带电粒子的位置。

Copy LaTeX$$\frac{\partial \overrightarrow{P}}{\partial t}=\frac{\sum e_i{\overrightarrow{v}}_i}{\mathrm{\Delta }V}={\overrightarrow{J}}_p$$

——极化电流密度。

Maxwell 方程组

Copy LaTeX$$\frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{B}={\overrightarrow{J}}_f+{\overrightarrow{J}}_m+{\overrightarrow{J}}_p+{\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t},$$

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\times (\frac{\overrightarrow{B}}{{\mu }_0}-\overrightarrow{M})={\overrightarrow{J}}_f+\frac{\partial \overrightarrow{P}}{\partial t}+{\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}={\overrightarrow{J}}_f+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t},$$

Copy LaTeX$$\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}={\overrightarrow{J}}_f+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}.$$

非铁磁性物质：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{M}={\chi }_m\overrightarrow{H}.$$

……

介质中：

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{E}& =-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t},\\ \mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{H}& =\overrightarrow{J}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t},\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{D}& =\rho ,\\ \mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{B}& =0.\end{array}$$

①、④式只含 $\overrightarrow{E}$ 、$\overrightarrow{B}$ ，与介质无关。

介质电磁性质（线性）：

Copy LaTeX$$\{\begin{array}{rl}\overrightarrow{D}& =\epsilon \overrightarrow{E},\\ \overrightarrow{B}& =\mu \overrightarrow{H},\\ \overrightarrow{J}& =\sigma \overrightarrow{E}& & \text{（导电物质，欧姆定律）}.\end{array}$$

边值关系

微分形式的 Maxwell 方程组适用于连续的介质，但界面处物理量跃变，不适用。

电场作用下，界面出现束缚面电荷与电流分布，后者被引起而使两个场量突变（如自由面电荷激发的电场在两侧方向相反）。

边值关系：描述两个场量与界面上电荷、电流的关系。

基础：Maxwell 方程组的积分形式。

1. 法向分量

Copy LaTeX$${\oint }_L\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=-\frac{d}{dt}{\int }_S\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S},$$

Copy LaTeX$${\oint }_L\overrightarrow{H}\cdot d\overrightarrow{l}=I_f+\frac{d}{dt}{\int }_S\overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{S},$$

Copy LaTeX$${\oint }_S\overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{S}=Q_f,$$

Copy LaTeX$${\oint }_S\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{S}=0.$$

应用到界面上有：

Copy LaTeX$${\epsilon }_0{\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=Q_f+Q_p,$$

Copy LaTeX$${\epsilon }_0(E_{2n}-E_{1n})\mathrm{\Delta }S=Q_f+Q_p,$$

Copy LaTeX$${\epsilon }_0(E_{2n}-E_{1n})={\sigma }_f+{\sigma }_p.$$

由于

Copy LaTeX$$P_{2n}-P_{1n}=-{\sigma }_p,$$

得到

Copy LaTeX$$D_{2n}-D_{1n}={\sigma }_f.$$

（同样只保留方便测量的自由电荷项。）

也可由

Copy LaTeX$${\oint }_S\overrightarrow{D}\cdot d\overrightarrow{S}=Q_f$$

直接得出：

Copy LaTeX$$(D_{2n}-D_{1n})\delta S={\sigma }_f\delta S.$$

Copy LaTeX$$B_{2n}=B_{1n},$$

可由④式同理得到。

2. 切向分量突变

面电荷分布使两侧电场跃变，下面说明面电流 $\to$ 磁场改变。

电流只分布在导体表面的薄层上，有两种描述方法：

1. $\overrightarrow{J}$ 分布；
2. 把薄层视为几何面。

例如磁化电流：电流沿切向的线束，表面有分子电流。[?]

Copy LaTeX$$\delta I=\alpha \delta L$$

——定义电流线密度。（假设电流分布在无限薄的几何面上。）

取长方回路：

Copy LaTeX$${\oint }_L\overrightarrow{H}\cdot d\overrightarrow{l}=(H_{2t}-H_{1t})\delta l.$$