2026-09-02 数理方法：线性空间、内积与线性算符

数理方法

线性空间

• 定义、性质
• 内积
• Hilbert 空间：内积空间与完备性要求
  • [? 推测：矢量——对象关系、运算规则]
  • [? 推测：元素（物理量，如态、算符）]
  • [? 推测：结构（支撑守恒）]

向量空间 $V$ 上的内积定义：一个函数

Copy LaTeX$$V\times V\to \mathbb{R}\text{（实空间）},$$

或

Copy LaTeX$$V\times V\to \mathbb{C}\text{（复空间）}.$$

求解物理态：

• 遵守本征方程的求解
• 光谱：本征值 $\in \mathbb{R}$
• 本征向量之间的完备性

1. 定义

集合 $L$ 与数域 $K$ 上定义运算：加法、数乘。

满足：

1. 交换律、结合律，零元、负元存在；
2. 数乘结合律、单位元、封闭性；
3. 乘法分配律、向量因子分配律。

$L$ 为 $K$ 上的向量空间：

Copy LaTeX$${\dim }_{\mathbb{C}}\mathbb{C}=1,{\dim }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2.$$

$L$ 中的元素为向量，可以是矩阵、函数、波函数。

[G: 详细说明一下]

G 补充

“向量”是抽象概念：只要一组对象能进行加法和数乘，并满足上述向量空间公理，它们就可以作为向量空间的元素。因此向量不一定是几何箭头，也可以是矩阵、函数或波函数。例如，复数域上的 $n$ 维列矩阵构成 ${\mathbb{C}}^n$ ；同一区间上的一组函数在逐点加法和数乘下也可构成函数空间。维数指一组基所含的元素个数，所以同一个集合选取不同数域时维数可能不同，如 ${\dim }_{\mathbb{C}}\mathbb{C}=1$ 、${\dim }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=2$ 。

内积

性质：

1. 共轭对称性

   Copy LaTeX$$⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩=⟨\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}{⟩}^{\ast }.$$

   实向量：有对称；复向量：有共轭。

2. 正定性、非负性

   Copy LaTeX$$⟨\phi ,\phi ⟩\ge 0,$$

   自己与自己内积大于等于 $0$ （模方）。

3. 对第二元素线性性

   Copy LaTeX$$⟨\phi ,a\chi ⟩=a⟨\phi ,\chi ⟩,$$
   Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}⟨a\phi ,\chi ⟩& =⟨\chi ,a\phi {⟩}^{\ast }\\ & ={(a⟨\chi ,\phi ⟩)}^{\ast }\\ & =a^{\ast }⟨\phi ,\chi ⟩.\end{array}$$

内积的应用：

1. 模；

2. 正交性：方便基变换；原向量减去投影向量，构造正交基；

3. 归一化：

   Copy LaTeX$$\hat{\psi }=\frac{\psi }{\Vert \psi \Vert },$$

   如量子态矢量。

实向量内积用 $\cdot$ ，复向量用 $⟨,⟩$ 。

目的：简化运算。

在一组基下有

Copy LaTeX$$⟨\psi ,\phi ⟩={\psi }_i^{\ast }{\phi }_i.$$

Einstein 约定：

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}⟨{\psi }_i{\overrightarrow{e}}_i,{\phi }_j{\overrightarrow{e}}_j⟩& ={\psi }_i^{\ast }{\phi }_j⟨{\overrightarrow{e}}_i,{\overrightarrow{e}}_j⟩\\ & ={\psi }_i^{\ast }{\phi }_j{\delta }_{ij}\\ & ={\psi }_i^{\ast }{\phi }_i.\end{array}$$

为了保证正定性，否则 $i\cdot i=-1<0$ 。

线性空间 $\to$ 内积空间 $\to$ Hilbert 空间。

（欧氏空间是实内积空间。）

Hilbert 空间

一般是复数域上。

简介：完备的内积空间，经过分析的极限对象。

[G: 都是什么关系？]

G 补充

线性空间只规定向量加法和数乘；内积空间在线性空间上增加内积，从而可以定义长度、夹角、正交和投影；Hilbert 空间又要求内积诱导的距离是完备的，即空间中的每个 Cauchy 序列都收敛到空间内的元素。因此它们是逐层增加结构与条件的关系：

Copy LaTeX$$\text{Hilbert 空间}\subset \text{内积空间}\subset \text{线性空间}.$$

有限维欧氏空间是实内积空间，并且自动完备；量子力学通常使用复 Hilbert 空间，很多重要例子是无限维函数空间。

欧氏空间是有限维，Hilbert 空间是无限维。

如 ${\mathbb{R}}^n$ 、${\mathbb{C}}^n$ 、函数空间。

[G: 量子波函数内积的意义：$⟨\phi ,\psi ⟩=\int {\phi }^{\ast }(x)\psi (x)dx$ ？]

G 补充

对两个波函数 $\phi$ 和 $\psi$ ，内积

Copy LaTeX$$⟨\phi ,\psi ⟩=\int {\phi }^{\ast }(x)\psi (x)dx$$

表示态 $\psi$ 在态 $\phi$ 方向上的概率振幅；其模平方 $|⟨\phi ,\psi ⟩{|}^2$ 给出相应的转移或测量概率（在两态均已归一化时）。当 $\phi =\psi$ 时，内积给出范数平方，归一化条件为 $⟨\psi ,\psi ⟩=1$ ；若内积为 $0$ ，两态正交。

二者不同。

线性算符

作用对象：向量。

1. 可加性：

   Copy LaTeX$$\hat{A}(\phi +\psi )=\hat{A}\phi +\hat{A}\psi .$$

2. 齐次性：

   Copy LaTeX$$\hat{A}(a\phi )=a\hat{A}\phi .$$

举例：旋转；微分

Copy LaTeX$$D_x=\frac{d}{dx}.$$

如一个 $\hat{A}$ ：

Copy LaTeX$$\left(\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 0\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right).$$

所以

Copy LaTeX$$a+b=\sqrt{2},c+d=0.$$

由于旋转保内积，有

Copy LaTeX$$A^{T}A=I,$$

Copy LaTeX$$a^2+c^2=1,b^2+d^2=1,ab+cd=0,$$

并有 $a=b={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ 。

对易关系

对易子：

Copy LaTeX$$[\hat{A},\hat{B}]\equiv \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}.$$

• $[\hat{A},\hat{B}]=0$ ：对易，顺序不影响结果；
• $[\hat{A},\hat{B}]\ne 0$ ：不对易，量子不确定性原理。

Copy LaTeX$$[D_x,\hat{x}]=1.$$

微分算符与位置算符的算符对易子是 $1$ ，[? 推测：是 Heisenberg 不确定性原理的形式]。

厄米（Hermitie）算符

Copy LaTeX$${\hat{A}}^{†}=\hat{A}$$

（算符伴随为自身。）

Copy LaTeX$${\hat{A}}^{†}={\hat{A}}^{T\ast };$$

这是矩阵算符。

厄米算符本征值一定为实数。

么正算符：

Copy LaTeX$${\hat{A}}^{†}\hat{A}=I.$$

保模、保内积；保证概率守恒。

本征方程：

Copy LaTeX$$\hat{A}|\phi ⟩=\lambda |\phi ⟩.$$

求 $\lambda$ ：

Copy LaTeX$$(\hat{A}-\lambda I)|\phi ⟩=0,$$

需有

Copy LaTeX$$det(\hat{A}-\lambda I)=0.$$

本征值对应可能的观测值。

本征向量代表定态（该态下物理量取值确定）。