2026-08-31 数理方法：张量记法与留数定理

数理方法

1. 复数计算
2. 回路积分
3. 留数计算
4. 傅里叶变换、拉普拉斯变换
5. 分离变量法
6. 特殊函数

平时（小测）：[?]

期末

简单课后题

Copy LaTeX$$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$$

矢量、张量：

• $F_{\mu \nu }$ ：电磁场张量
• 高阶张量：$T_{\alpha \beta \cdots }^{\mu \nu \cdots }$

使用 $F_{\mu \nu }$ 四维表达式，将方程组写成投影空间内形式：

Copy LaTeX$${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=J^{\text{[?]}}$$

Copy LaTeX$${\partial }_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=({\partial }_t,\mathrm{\nabla })$$

是四维空间梯度。

Copy LaTeX$$x^{\mu }=(ct,\overrightarrow{x})$$

四维坐标。

Copy LaTeX$$A_{\mu }=(\varphi ,-\overrightarrow{A})$$

标势与矢势。

三维欧氏空间 ${\mathbb{R}}^3$ ：三维正交实向量空间。

原点，$\{{\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2,{\overrightarrow{e}}_3\}$ 。

引入笛卡尔坐标系，矢量不依赖于坐标系而存在。

运算：

• 加法、数乘
• 标积、矢积

爱因斯坦求和：

Copy LaTeX$$\overrightarrow{A}=\sum _i{A}_i{\overrightarrow{e}}_i$$

同一代数项中，同一个哑指标不能出现超过 2 个。

例如：

Copy LaTeX$$A_i{B}_j{C}_i{D}_j=\sum _i{A}_i{C}_i\sum _j{B}_j{D}_j.$$

但

Copy LaTeX$$A_i{B}_i{C}_i{D}_j$$

是错误形式。

克罗内克 $\delta$ ：

Copy LaTeX$${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}0,& i\ne j,\\ 1,& i=j.\end{array}$$

可表示正交性：

Copy LaTeX$${\overrightarrow{e}}_i\cdot {\overrightarrow{e}}_j={\delta }_{ij}.$$

例如：

Copy LaTeX$$A_i{\delta }_{ij}=A_j.$$

又如：

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}& =(A_i{\overrightarrow{e}}_i)\cdot (B_j{\overrightarrow{e}}_j)\\ & =(A_i{B}_j)({\overrightarrow{e}}_i\cdot {\overrightarrow{e}}_j)\\ & =A_i{B}_j{\delta }_{ij}\\ & =A_i{B}_i.\end{array}$$

自身重复指标需要重新解释为可求和，是一套关系。

Levi-Civita 符号：

Copy LaTeX$${\epsilon }_{ijk},i,j,k=1,2,3,$$

Copy LaTeX$${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{ll}1,& i,j,k\text{ 为顺序},\\ -1,& i,j,k\text{ 为逆序},\\ 0,& i,j,k\text{ 有相同}.\end{array}$$

可表示叉积、三阶行列式：

Copy LaTeX$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|={\epsilon }_{ijk}{a}_i{b}_j{c}_k.$$

注：$\epsilon$ 下标顺序与 $a,b,c$ 下标顺序一致。

留数定理

Laurent 展开

考察 $f(z)$ 在孤立奇点 $z_0$ 附近的 Laurent 展开：

Copy LaTeX$$f(z)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n(z-z_0{)}^n.$$

[G: Laurent 级数的 $a_n$ 怎么求？为何不管多大或多小的 $n$ ，都有 $n\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ ？]

G 补充

在展开成立的环域内取一条绕 $z_0$ 一周的闭合曲线 $C$ ，系数为

Copy LaTeX$$a_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(\zeta )}{(\zeta -z_0{)}^{n+1}}d\zeta .$$

Laurent 级数同时包含 $n\ge 0$ 的正则部分和 $n<0$ 的主部，因此指标写成从 $-\mathrm{\infty }$ 到 $+\mathrm{\infty }$ 。这不表示每个系数都非零；可去奇点或极点的负次项只有有限个或全部为零，本性奇点才可能有无限多个非零负次项。

取以 $z_0$ 为圆心的圆周 $C$ ，其内部只有 $z_0$ 一个孤立奇点：

Copy LaTeX$${\oint }_{C}f(z)dz=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{\oint }_C(z-z_0{)}^{n}dz.$$

由

Copy LaTeX$$z-z_0=r{e}^{i\theta },dz=ir{e}^{i\theta }d\theta ,$$

其中 $i{e}^{i\theta }$ 表示方向，$rd\theta$ 表示模长，$\theta$ 绕一周：

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}{\oint }_{C}f(z)dz& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n{\int }_0^{2\pi }i{r}^{n+1}{e}^{i(n+1)\theta }d\theta \\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{a}_{n}i{r}^{n+1}{\delta }_{n,-1}\cdot 2\pi \\ & =2\pi i{a}_{-1}.\end{array}$$

因为

Copy LaTeX$$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{i(n+1)\theta }d\theta =\{\begin{array}{ll}1,& n=-1,\\ 0,& n\ne -1.\end{array}$$

这说明：$f(z)$ 在包含单一孤立奇点 $z_0$ 的回路积分值，等于 $f(z)$ 在 $z_0$ 处 Laurent 展开的 $n=-1$ 项系数 $a_{-1}$ 乘 $2\pi i$ 。

定义 $f(z)$ 在 $z_0$ 点的留数为 $a_{-1}$ ，记为

Copy LaTeX$$\mathrm{Res}(f,z_0)=a_{-1}.$$

这里用到 Cauchy 积分定理：

若两闭合回路都只包围一个孤立奇点，且两回路之间的区域内函数解析，则两回路的积分相等。

更一般地，若回路绕 $z_0$ 共 $m$ 圈，则

Copy LaTeX$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi im\mathrm{Res}(f,z_0).$$

留数定理

若 $f(z)$ 在回路 $C$ 包围的区域内有 $k$ 个奇点，而其他地方都解析，则

Copy LaTeX$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{j=1}^k\mathrm{Res}(f,z_j).$$

图示：

例：求

Copy LaTeX$${\oint }_C\frac{1}{z^2}dz,$$

其中 $C$ 包含 $z_0=0$ 。

用留数定理：Laurent 级数中 $a_{-1}=0$ ，故

Copy LaTeX$${\oint }_C\frac{1}{z^2}dz=0.$$

直接计算：

Copy LaTeX$$\frac{1}{z^2}=(z-z_0{)}^{-2}=\frac{1}{r^2{e}^{2i\theta }},$$

Copy LaTeX$$\begin{array}{rl}{\oint }_C\frac{1}{z^2}dz& =\frac{1}{r}{\int }_0^{2\pi }{e}^{-2i\theta }i{e}^{i\theta }d\theta \\ & =\frac{1}{r}{\int }_0^{2\pi }i{e}^{-i\theta }d\theta \\ & =0.\end{array}$$